群扩张

✍ dations ◷ 2025-06-28 19:22:59 #群论

在抽象代数中,设 Q {\displaystyle Q} 为群,若存在群 G , N {\displaystyle G,N} ,及群的正合序列

(换言之, i {\displaystyle i} 是单射、 p {\displaystyle p} 是满射,且 K e r ( p ) = I m ( i ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (p)=\mathrm {Im} (i)} ;是故可视 N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} 的正规子群, G / N Q {\displaystyle G/N\simeq Q} 。)则称群 G {\displaystyle G} Q {\displaystyle Q} 的群扩张,或称 Q {\displaystyle Q} N {\displaystyle N} 的扩张。

由短正合序列的同构关系,可以定义群扩张的等价类。若某个群扩张等价于

则称此扩张为平凡扩张。当 N {\displaystyle N} 落在 G {\displaystyle G} 的中心时,称之为中心扩张。

一般的群扩张不易分类。若限定 G {\displaystyle G} 为阿贝尔群,则 Q {\displaystyle Q} N {\displaystyle N} 的扩张等价类一一对应于 E x t Z 1 ( Q , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)} (参见条目 Ext函子)。

另一方面,若在群扩张 0 A E G 1 {\displaystyle 0\to A\to E\to G\to 1} 中, A {\displaystyle A} 为阿贝尔群,可任取一截面 s : G E {\displaystyle s:G\to E} (s 不一定是群同态),群 G {\displaystyle G} 以共轭方式 a s ( g ) a s ( g ) 1 {\displaystyle a\mapsto s(g)as(g)^{-1}} A {\displaystyle A} 上作用。这类扩张的等价类由群上同调 H 2 ( G , A ) {\displaystyle H^{2}(G,A)} 分类,并具有自然的群结构。最常见的例子是中心扩张。

利用同样作法,也可以定义李代数的扩张。此即李代数的正合序列

= 0 {\displaystyle =0} ,称之为中心扩张。

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