佩尔数

佩尔数是一个自古以来就知道的整数数列，由递推关系定义，与斐波那契数类似。佩尔数呈指数增长，增长速率与白银比的幂成正比。它出现在2的算术平方根的近似值以及三角平方数的定义中，也出现在一些组合数学的问题中。

佩尔数由以下的递推关系定义：

也就是说，佩尔数的数列从0和1开始，以后每一个佩尔数都是前面的数的两倍加上再前面的数。最初几个佩尔数是：

佩尔数也可以用通项公式来定义：

对于较大的，${\displaystyle (1+\sqrt{2}{)}^n}$和 是佩尔方程的解：

那么它们的比${\displaystyle \frac{x}{y}}$本身是素数时${\displaystyle P_n}$、和（必须满足勾股定理2+2=2），那么(,,)称为勾股数。Martin在1875年描述，佩尔数可以用来产生勾股数，其中和相差一个单位。这个勾股数具有以下形式：

用这种方法产生的勾股数的序列是：

佩尔-卢卡斯数由以下的递推关系定义：

也就是说，数列中的最初两个数都是2，后面每一个数都是前一个数的两倍加上再前面的一个数。这个数列的最初几个项是（OEIS中的数列A002203）：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩尔-卢卡斯数的通项公式为：

这些数都是偶数，每一个数都是以上${\displaystyle \sqrt{2}}$的近似值中的分子的两倍。