交错群

✍ dations ◷ 2025-07-20 15:09:44 #有限群,置换群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G2 F4E6 E7E8
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

数学中,交错群(alternating group)是一个有限集合偶置换之群。集合 {1,...,} 上的交错群称为 阶交错群,或 个字母上的交错群,记做 A 或 Alt()。

例如,4 阶交错群是 A = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} (参见轮换记法 cycle notation)。

对 > 1,群 A 是对称群 S 的交换子群,指数为 2,从而有!/2 个元素。它是符号群同态 sgn : → {1, −1} 的核。

是阿贝尔的当且仅当 ≤ 3,单当且仅当 = 3 或 ≥ 5。注意 A3 事实上是 3 阶单群。A1 与 A2 是 1 阶群,一般不称为单的,而 A4 有一个非平凡正规子群从而不单。A5 是最小非阿贝尔单群,阶数为 60,也是最小不可解群。

在对称群中,A 的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成,这里长为 1 的轮换包含在轮换型中,则对这样的轮换型恰有两个共轭类 (Scott 1987,§11.1, p299)。

例如:

对 > 3,除了 = 6, 的自同构群就是 S 的自同构群,其内自同构群为 外自同构群为 Z2;外自同构来自用一个奇置换共轭。

对 = 1 与 2,自同构群平凡。对 = 3 自同构群是 Z2,其内自同构群平凡外自同构群为 Z2

6 的外自同构群是克莱因四元群 = Z2 × Z2,这也是 6 的自同构群。 6 另外的自同构将三轮换(比如 (123))与 32 型元素(比如 (123)(456))交换。

在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

更显然有 A3 同构于循环群 Z3,以及 A1 与 A2 同构于平凡群(也是 SL1()=PSL1() 对任何 )。

4 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群:给定一个有限群 和 || 的一个因子 ,不一定存在 的一个 阶子群。群 = 4,阶为 12,没有 6 阶子群。有三个元素的子群(由三个对象的轮换旋转生成)再加上任何一个其它元素生成整个群。

交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论(stable homotopy theory)中的稳定性:对足够大的 是常值。

第一同调群与阿贝尔化相同,因为 A n {\displaystyle A_{n}} 等于 5 或大于等于 8 时,交错群 A 的舒尔乘子(Schur multiplier)是 2 阶循环群;在 6 和 7 时有一个三重复盖,则舒尔乘子的阶数为 6。

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