交错群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

数学中，交错群（alternating group）是一个有限集合偶置换之群。集合 {1,...,} 上的交错群称为 阶交错群，或 个字母上的交错群，记做 A 或 Alt()。

例如，4 阶交错群是 A = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} （参见轮换记法 cycle notation）。

对 > 1，群 A 是对称群 S 的交换子群，指数为 2，从而有!/2 个元素。它是符号群同态 sgn : → {1, −1} 的核。

群 是阿贝尔的当且仅当 ≤ 3，单当且仅当 = 3 或 ≥ 5。注意 A₃ 事实上是 3 阶单群。A₁ 与 A₂ 是 1 阶群，一般不称为单的，而 A₄ 有一个非平凡正规子群从而不单。A₅ 是最小非阿贝尔单群，阶数为 60，也是最小不可解群。

在对称群中，A 的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成，这里长为 1 的轮换包含在轮换型中，则对这样的轮换型恰有两个共轭类 （Scott 1987，§11.1, p299）。

例如：

对 > 3，除了 = 6， 的自同构群就是 S 的自同构群，其内自同构群为 外自同构群为 Z₂；外自同构来自用一个奇置换共轭。

对 = 1 与 2，自同构群平凡。对 = 3 自同构群是 Z₂，其内自同构群平凡外自同构群为 Z₂。

₆ 的外自同构群是克莱因四元群 = Z₂ × Z₂，这也是 ₆ 的自同构群。 ₆ 另外的自同构将三轮换（比如 (123)）与 32 型元素（比如 (123)(456)）交换。

在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

更显然有 A₃ 同构于循环群 Z₃，以及 A₁ 与 A₂ 同构于平凡群（也是 SL₁()=PSL₁() 对任何 ）。

₄ 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群：给定一个有限群 和 || 的一个因子 ，不一定存在 的一个 阶子群。群 = ₄，阶为 12，没有 6 阶子群。有三个元素的子群（由三个对象的轮换旋转生成）再加上任何一个其它元素生成整个群。

交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论（stable homotopy theory）中的稳定性：对足够大的 是常值。

第一同调群与阿贝尔化相同，因为 ${\displaystyle A_n}$ 等于 5 或大于等于 8 时，交错群 A 的舒尔乘子（Schur multiplier）是 2 阶循环群；在 6 和 7 时有一个三重复盖，则舒尔乘子的阶数为 6。