自治系统 (数学)

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:22:49 #微分方程,动力系统

在数学中,一个动力系统被称为自治(驻定)的,当且仅当这个系统由一组常微分方程组成,并且这些方程的表达式与动力系统的自变量无关。

在有关物理的动力系统中,自变量通常是时间。这时自治系统通常表示其中的物理规律不随时间变化的系统,也就是说空间中每一点的性质在过去、现在和将来都是一样的。

自治系统是动力系统中很重要的一个组成部分。理论上说,所有的动力系统都可以转化为自治系统。

形式上来说,一个自治系统是一个常微分方程:

其中 在-维欧几里得空间中取值,而 是自变量,一般表示时间。

注意到自治系统是一般的常微分方程组中的一个特例。常微分方程的一般形式为:

物理上来说,这表示空间中一点的性质不仅取决于它的位置,还取决于时间:在不同的时间,经过此一点的质点或粒子会受到不同的影响。

对于一个自治系统,任意初值问题:

都等价于

其中的 1 是一个可以由 0 确定的值。

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