双线性形式

在域 中,向量空间 的双线性形式指的是一个 × → 上的线性函数 , 满足：

都是线性的。这个定义也适用于的模，这时线性函数要改为模同态。

注意一个双线性形式是特别的双线性映射。

如果是n维向量空间，设${\displaystyle C=\{e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n\}}$的一组基。定义${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$使得${\displaystyle (A_{ij})=B(e_i,e_j)}$和表示向量及时，双线性形式可表示为:

考虑另一组基 是一个可逆的${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$都定义了一对由射到它的对偶空间*的线性函数。定义${\displaystyle B_1,B_2:<!--\; :\; -->V\to <!--\; \to \; -->V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$是有限维空间的话，和它的双对偶空间**是同构的，这时₂是₁ 的转置映射（如果是无限维空间，₂限制在在**的像下的部分是₁ 的转置映射）。 定义的转置映射为双线性形式：

如果 是有限维空间，₁ 及₂ 的秩相等。如果他们的秩等于的维数的话，₁ 和 ₂ 就是由到*的同构映射（显然₁是同构当且仅当₂ 是同构），此时，是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：是非退化的当且仅当

双线性形式  : × → 是镜像对称的当且仅当:

当A是非奇异矩阵，即当是非退化时，根都是零子空间{0}。

设W是一个子空间，定义${\displaystyle W^{\perp <!--\; \perp \; -->}=\{v|B(v,w)=0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}w\in <!--\; \in \; -->W\}}$是非退化时，映射${\displaystyle W\to <!--\; \to \; -->W^{\perp <!--\; \perp \; -->}}$)-dim()。

可以证明，双线性形式是镜像对称的当且仅当它是以下两者之一：

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

当的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char()=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当${\displaystyle B_1,B_2:<!--\; :\; -->V\to <!--\; \to \; -->V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$) ≠ 2 时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

其中* 是 的转置映射。

这套理论有很大一部分可推广到双线性映射的情形：

此时仍有从 到 的对偶、及从 到 的对偶的映射。当 , 皆有限维，则只要其中之一是同构，另一个映射也是同构。在此情况下 称作完美配对。

由张量积的泛性质，${\displaystyle V}$2* 的元素，而交代双线性形式则可想成二次外幂 Λ2* 的元素。