压缩感知

压缩感知（Compressed sensing），也被称为压缩采样（Compressive sampling）或稀疏采样（Sparse sampling），是一种寻找欠定线性系统的稀疏解的技术。压缩感知被应用于电子工程尤其是信号处理中，用于获取和重构稀疏或可压缩的信号。这个方法利用信号稀疏的特性，相较于奈奎斯特理论，得以从较少的测量值还原出原来整个欲得知的信号。核磁共振就是一个可能使用此方法的应用。这一方法至少已经存在了四十年，由于David Donoho、Emmanuel Candès和陶哲轩的工作，最近这个领域有了长足的发展。近几年，为了因应即将来临的第五代移动通信系统，压缩感知技术也被大量应用在无线通信系统之中，获得了大量的关注以及研究。

信号处理领域中的一个常见问题就是从一系列的采样中重建原本的信号。一般而言，未被采样的部分信号，是不可能重建出来的。然而通过借助对于信号（性质）的预先了解或合理假设，完美地通过一系列采样重建原信号就成为了可能。随着科学的发展，数学家们逐步增进了如何作出合理假设的能力，并慢慢了解到在何种情况下可将这些假设一般化、推广化。

信号处理领域中的一次较早的突破是奈奎斯特采样定理的提出。这一定理证明了若信号的最高频率小于采样频率的一半，便可完美地从采样结果中恢复原本信号，因此定义了采样定理采样率的下限。这种数据获取模式先采样再压缩，需要大量的时间压缩和空间存储数据，这限制了高速信号处理的发展，也给硬件的实时处理带来了极大的挑战。

在2004年左右，Emmanuel Candès、陶哲轩和David Donoho证明了在已知信号稀疏性的情况下，可能凭借较采样定理所规定更少的采样数重建原信号，这一理论也是压缩感知的基石。

一般来说，一个常见的线性系统问题，有个方程式, 个未知数，可以被定义如下：

${\displaystyle y=Hs,}$是被收到的信号，而则是要被重建的信号，一般来说会有以下两种情况：

1.${\displaystyle m\ge <!--\; \ge \; -->n}$是m×1的测量向量，是×n的“转换矩阵”或称作“测量矩阵”，其中 < 。

基追踪常在需要完美满足欠定线性方程组系统中${\displaystyle y=Hs}$₁基准下为最稀疏的。

若应用情景允许降低对完美恢复的要求，以换取更加稀疏的解，降噪基追踪（basis pursuit denoising）更为适用。

匹配追踪（Matching pursuit）是一种稀疏近似运算，旨在找到多维数据在某个超完备字典（dictionary）${\displaystyle D}$:要被重建的信号(原信号)；:投影矩阵，把非稀疏性信号投影到稀疏性空间；:非零项远小于零项

，还原算法即可一样使用。

至于${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$的选择对于不同信号来说有很多种，有离散余弦变换(DCT) ,离散小波变换(DWT)，字典学习(Dictionary Learning)等。

利用信号经过这两种变换后都会有稀疏性的特性，把这两种变换变成矩阵形式，让信号直接投影到具有稀疏性的空间上。

好处

坏处

顾名思义即把${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$当作一本要学习的字典，不断的利用该信号和还原算法后的结果做字典的更新，直到找到一个${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$能够把该信号投影到稀疏性空间上。

字典学习的流程：

字典学习的算法有很多，较为常用的有Method of optimal directions(MOD)。

好处

坏处

压缩感知与包括欠定系统、群验、稀疏编码、复用、稀疏采样等。在成像科技领域，亦有许多技术如（编码孔与计算摄影学）与压缩感知相关。亦有许多在不同技术完成度下将压缩感知实现的案例。

压缩感知技术被用于手机摄像头传感器设计中。这一技术使得在获取图像时所耗费的能量大大降低，可达原先耗费的15分之一——当然，需要引入复杂的解压算法；这一运算可能会需要脱机状态下的预先安装、设置。

压缩感知亦被用于实现单像素摄影。贝尔实验室运用了这一技术，用无镜片单像素相机在栅格中随机选取的孔隙处拍照，以达到成像效果。随着拍照次数的逐渐增多，照片质量也会逐步提高；一般来说，这种技术较之传统的摄影成像技术仅仅需要一小部分的数据占用量，且能完全避免与镜片或聚焦相关的故障或失常；参见 。

压缩感知可被用于增加通过单幅全息图中所能得到的立体像素的数量改进全息摄影技术中的图像重建问题。在光学全息图或毫米波全息图采样率不足的情况下，这一技术也能够被用于图像检索以作出改善。

压缩感知目前被用于面部识别应用之中，参见Engineers Test Highly Accurate Face Recognition。

压缩感知也被应用在医疗影像上，特别是核磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging, MRI)，具有稀疏的特性，因此能使用压缩感知的技术。在过去核磁共振成像会因为物理学、生理学上的限制，而有扫描时间较长的问题，如今压缩感知利用核磁共振成像具有的稀疏特性，来改善成像质量以及降低所需要量测数量，能有效缩短核磁共振的扫描时间，近期相关的压缩感知算法也被广为讨论，可以参见 、 与，其中涉及的重建方法包括ISTA、FISTA、SISTA等。

一般来说地震成像既不稀疏，也不可压缩，具有高维度、大面积的特性，因此会耗费大量的量测以及运算时间，所以希望能降低取样的次数，同时能保有原本的质量。因此有人利用压缩感知技术将取样以及编码同时进行，来达到降低维度的目的，最后再透过压缩感知的还原算法进行还原，可以参考。

在通信系统当中会遇到高带宽的问题，因此会需要较高的采样率，然而其中的信号可能含有的信息是远小于带宽的，因此就会浪费软、硬件的资源来进行取样。所以有人提出用模拟信息转换(Analog-to-Information Converter, AIC)取代模拟数字转换(Analog-to-Digital Converter, ADC)，利用随机解调(Random Demodulation)的方式，来降低所需要的取样次数，对于在时频上有稀疏特性、宽带的信号特别适合，可以参考。

压缩感知在被用于旨在利于网络管理的网络诊断应用中时带来了极佳成效。对网络延时的估计和网络拥塞的探知均可被归纳、建模为非定性的线性方程组系统，其中的参数矩阵正是所分析网络的路由选择矩阵。此外，在互联网情景中，网络路由矩阵常常能够满足压缩感知技术所要求的几个基本要素：低相关性、稀疏性及（可能的）R.I.P条件，请参见 。

目前，基于压缩感知技术的商用短红外相机已被推出 。这些相机的光敏度大约从0.9µm到1.7µm，在上述波段上，人类的肉眼是无效的。

随着通信要求的带宽越来越大，因此可用的频带从微波(Microwave)转到毫米波(mmWave)的频段，虽然可用的带宽增加，然而会受到更严重的通道衰减，所以波束成型的技术被提出，结合天线数组来对抗通道衰减的效应。然而大量的天线数组会使得做通道估测的复杂度上升，传统的做法是使用最小平方法(Least Square, LS)来进行通道估测，不过有人发现通道具有稀疏的特性，因此提出了利用压缩感知的技术，进行压缩通道估测(Compressed Channel Estimation, CCS)，相较最小平方法，不仅复杂度降低，还能达到更低的错误率以及延迟性。

利用压缩感知理论可以恢复出稀疏信号的特性，压缩感知理论被广泛应用于波达方向估计(Direction of Arrival,DOA)中。基于压缩感知的波达方向估计中将信号源矩阵看作是一个稀疏矩阵，在已知采样矩阵和阵列流形矩阵为前提下，对稀疏信号源矩阵进行重构以获得被测量信号源的波达方向。使用这种方法，不仅避免了传统波达方向估计中需要计算复杂协方差矩阵的步骤，同时还对空间中的相干信号源有着很好的性能。

在物联网的情境之下，设备的数量会大幅增加，然而因为资源有限，所以用来辨别设备的展频码(m)会少于设备的数量(n)，因此会使得整个系统变成欠定的线性系统，然而这些设备大部分的时候都是处于休息、监测的状态，并不会一直发送消息给基地台，因此就有了稀疏的性质，利用压缩感知的技术就能分辨出处于活动状态的设备，并解出其所发送的信号。

压缩感知算法天生就具有加密的性质，因为要重建原本信号的话，必须要知道采样矩阵才能进重建。因此现今也有许多加密的研究关注于压缩感知算法，因为虚拟随机数传感矩阵(Pseudo-random Sensing Matrix)可以被视为一组加密后的钥匙，能对信号进行压缩并同时加密，而不需要额外的运算，可以参考。