庞加莱度量

数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。

复平面上的度量可写成一般形式

这里 λ 是 与 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$ 之面积是

这里 ${\displaystyle \wedge <!--\; \wedge \; -->}$ 是一个黎曼曲面带有度量 ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2(z,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})dzd\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$ 是带有度量 ${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2(w,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w})dwd\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w}}$ 的庞加莱度量张量为

这里我们记 ${\displaystyle dz=dx+idy}$ 对应于上半平面上的点 。在这个映射中，常数 ₀ 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 ${\displaystyle \mathrm{\Im <!--\; \Im \; -->}z=0}$ 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 ${\displaystyle U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{(x^2+y^2)}\le <!--\; \le \; -->1\}}$ 是 nome（Nome），${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$=0 不在映射的像中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

度量的势能是

庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。