等效位能

✍ dations ◷ 2025-11-17 00:26:07 #Mechanics

等效位能是将许多效应综合成单一位能的数学表达式。在古典力学中，等效位能即为离心力位能与位能的和。等效位能常被用来计算行星的轨道及半古典的原子计算，可用来降低问题的维度。

等效位能 $U_{\text{eff}}$ $U_{{\text{eff}}}$ 可定义如下：

$U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(\mathbf {r} )$ $U_{{\text{eff}}}({\mathbf {r}})={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U({\mathbf {r}})$

等效力，也就是等效位能的梯度取负号则为：

${\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{mr^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\mathbf {F}}_{{\text{eff}}}&=-\nabla U_{{\text{eff}}}({\mathbf {r}})\\&={\frac {L^{2}}{mr^{3}}}{\hat {{\mathbf {r}}}}-\nabla U({\mathbf {r}})\end{aligned}}$

其中 ${\hat {\mathbf {r} }}$ ${\hat {\mathbf {r} }}$ 为r方向的单位向量。

等效位能有许多有用的特性：

要找到一个圆形轨道的半径，我们只要将等效位能对r取最小值，或是找 $r_{0}$ $r_{0}$ 使总力为0：

在解出 $r_{0}$ $r_{0}$ 后，代回 $U_{\text{eff}}$ $U_{{\text{eff}}}$ 以求等效位能之最大值 $U_{\text{eff}}^{\text{max}}$ $U_{{\text{eff}}}^{{\text{max}}}$ 。

也可求得微小振荡之频率：

其中角分符号代表对r的微分。

以质量为m的小天体绕行质量为M的大天体为例，并假设M远大于m。在牛顿力学中，大天体的运动可被忽略，且能量E及角动量L守恒：

其中

因为整个运动发生在一平面，所以我们只需要两个变数r及 $\phi$ $\phi$ 。将第二个式子代回第一个式子，整理之后可得

其中

即为等效位能。如同上式所述，原问题的两个变数被化简成单变数的问题。在许多应用中，等效位能可视为一维系统的位能，譬如说用等效位能来决定转折点及稳定平衡区。类似的方法可用来决定广义相对论中史瓦西度规的轨道。

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