等效位能

✍ dations ◷ 2025-04-26 11:52:32 #Mechanics

等效位能是将许多效应综合成单一位能的数学表达式。在古典力学中,等效位能即为离心力位能与位能的和。等效位能常被用来计算行星的轨道及半古典的原子计算,可用来降低问题的维度。

等效位能 U eff {\displaystyle U_{\text{eff}}} 可定义如下:

U eff ( r ) = L 2 2 m r 2 + U ( r ) {\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(\mathbf {r} )}

等效力,也就是等效位能的梯度取负号则为:

F eff = U eff ( r ) = L 2 m r 3 r ^ U ( r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{mr^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}

其中 r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} 为r方向的单位向量。

等效位能有许多有用的特性:

要找到一个圆形轨道的半径,我们只要将等效位能对r取最小值,或是找 r 0 {\displaystyle r_{0}} 使总力为0:

在解出 r 0 {\displaystyle r_{0}} 后,代回 U eff {\displaystyle U_{\text{eff}}} 以求等效位能之最大值 U eff max {\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}

也可求得微小振荡之频率:

其中角分符号代表对r的微分。

以质量为m的小天体绕行质量为M的大天体为例,并假设M远大于m。在牛顿力学中,大天体的运动可被忽略,且能量E及角动量L守恒:

其中

因为整个运动发生在一平面,所以我们只需要两个变数r及 ϕ {\displaystyle \phi } 。将第二个式子代回第一个式子,整理之后可得

其中

即为等效位能。 如同上式所述,原问题的两个变数被化简成单变数的问题。在许多应用中,等效位能可视为一维系统的位能,譬如说用等效位能来决定转折点及稳定平衡区。类似的方法可用来决定广义相对论中史瓦西度规的轨道。


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