大步小步算法

✍ dations ◷ 2025-07-04 10:07:12 #自2020年4月需要从俄语维基百科翻译的条目,算法,群论

在群论中,大步小步算法(英语:baby-step giant-step)是丹尼尔·尚克斯(英语:Daniel Shanks)发明的一种中途相遇算法,用于计算离散对数或者有限阿贝尔群的阶。其中离散对数问题在公钥加密领域有着非常重要的地位。

许多常用的加密系统都基于离散对数极难计算这一假设——计算越困难,这些系统提供的数据传输就越安全。增加离散对数计算难度的一种方法,是把密码系统建立在更大的群上。

这是一种空间换时间(英语:space–time tradeoff)的算法,实质上是求解离散对数的朴素算法(枚举并试乘)的一个相当简单的改进。

给出一个 n {\displaystyle n} 阶循环群 G {\displaystyle G} 、该群的一个生成元 α {\displaystyle \alpha } 和一个元素 β {\displaystyle \beta } 。试找到一个整数 x {\displaystyle x} 满足

大步小步算法把 x {\displaystyle x} 代换成:

于是,我们有:

该算法先对 j {\displaystyle j} 的不同取值计算出 α j {\displaystyle \alpha ^{j}} 的值,然后固定一个 m {\displaystyle m} ,并对 i {\displaystyle i} 尝试不同的取值,带入上面同余式的右边,看是否与某个(已经预先算出的)同余式左边的值相匹配。

给出C++17版本的代码:

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