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塑胶数

✍ dations ◷ 2025-08-19 10:01:05 #塑胶数

塑胶数或银数是一元三次方程 ${displaystyle x^{3}=x+1,}$ ${displaystyle x^{3}=x+1,}$ 的唯一一个实数根，其值为

约等于 ${displaystyle 1.3247179572447460259609}$ ${displaystyle 1.3247179572447460259609}$ （OEIS数列A060006）。

塑胶数对于佩兰数列和巴都万数列，就如黄金分割对于斐波那契数列——是两项的比的极限。它亦是最小的皮索数。

塑胶数是方程 ${displaystyle x^{3}=x+1,}$ ${displaystyle x^{3}=x+1,}$ 的唯一实数根。

对于方程 ${displaystyle x^{3}=x+1,}$ ${displaystyle x^{3}=x+1,}$ ，现将等式右边变为0，即

${displaystyle x^{3}-x-1=0,}$ ${displaystyle x^{3}-x-1=0,}$

由勘根定理可判断出该实根大小介于1与2之间，设

${displaystyle x={frac {lambda }{y}}+y,}$ ${displaystyle x={frac {lambda }{y}}+y,}$ ，

则

${displaystyle y={frac {x}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {x^{2}-4lambda }},}$ ${displaystyle y={frac {x}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {x^{2}-4lambda }},}$

得到

${displaystyle -1-y-{frac {lambda }{y}}+left(y+{frac {lambda }{y}}right)^{3}=0,}$ ${displaystyle -1-y-{frac {lambda }{y}}+left(y+{frac {lambda }{y}}right)^{3}=0,}$

等式两边同时乘 ${displaystyle y^{3}}$ ${displaystyle y^{3}}$ 得

${displaystyle y^{6}+y^{4}left(3lambda -1right)-y^{3}+y^{2}left(3lambda ^{2}-lambda right)+lambda ^{3}=0,}$ ${displaystyle y^{6}+y^{4}left(3lambda -1right)-y^{3}+y^{2}left(3lambda ^{2}-lambda right)+lambda ^{3}=0,}$

令 ${displaystyle lambda ={frac {1}{3}},}$ ${displaystyle lambda ={frac {1}{3}},}$ ，将其带入上面方程，并设 ${displaystyle z=y^{3},}$ ${displaystyle z=y^{3},}$ ，得到一个 ${displaystyle z}$ $z$ 的二次方程

${displaystyle z^{2}-z+{frac {1}{27}}=0,}$ ${displaystyle z^{2}-z+{frac {1}{27}}=0,}$

解得

${displaystyle z={frac {1}{18}}left(9+{sqrt {69}}right),}$ ${displaystyle z={frac {1}{18}}left(9+{sqrt {69}}right),}$

根据 ${displaystyle z=y^{3},}$ ${displaystyle z=y^{3},}$ ，得

${displaystyle y^{3}={frac {1}{18}}left(9+{sqrt {69}}right),}$ ${displaystyle y^{3}={frac {1}{18}}left(9+{sqrt {69}}right),}$

则 ${displaystyle y}$ ${displaystyle y}$ 有实数解

${displaystyle y={sqrt{{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}},}$ ${displaystyle y={sqrt{{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}},}$

根据 ${displaystyle y}$ ${displaystyle y}$ 与 ${displaystyle lambda }$ $lambda$ 的关系，得 ${displaystyle y={tfrac {x}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {x^{2}-{tfrac {4}{3}}}},}$ ${displaystyle y={tfrac {x}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {x^{2}-{tfrac {4}{3}}}},}$ ，得 ${displaystyle x}$ $x$ 的实数解

${displaystyle x={sqrt{{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}}+{sqrt{{frac {1}{2}}-{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}},}$ ${displaystyle x={sqrt{{frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}}+{sqrt{{frac {1}{2}}-{frac {1}{6}}{sqrt {frac {23}{3}}}}},}$

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