正规子群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。

埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。

群的子群是正规子群，如果它在共轭变换下不变；就是说对于每个中元素和每个中的元素，元素−1仍在中。我们写为

下列条件等价于子群在中是正规子群。其中任何一个都可以用作定义：

注意条件（1）逻辑上弱于条件（2），条件（3）逻辑上弱于条件（4）。为此，条件（1）和条件（3）经常用来证明在中是正规子群，而条件（2）和（4）用来证明在中是正规子群的推论。

给定一个群G，以及G的一个子群H，G的一个元素a，集合：

类似地，可以定义H关于a的右陪集：

可以证明：对于G中的两个元素a、b，${\displaystyle (a^{-<!--\; -\; -->1}b\in <!--\; \in \; -->H)⟺<!--\; ⟺\; -->(aH\cap <!--\; \cap \; -->bH\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})⟺<!--\; ⟺\; -->(aH=bH)}$。因此aH和bH只有两种关系：相等，或交集为空，即${\displaystyle aH=bH}$或者${\displaystyle aH\cap <!--\; \cap \; -->bH=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$。

于是群G可以被分解成：

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解：

进一步地，可以证明由${\displaystyle a\sim <!--\; \sim \; -->b⟺<!--\; ⟺\; -->a^{-<!--\; -\; -->1}b\in <!--\; \in \; -->H}$所定义的关系是一个等价关系，集合中的每个等价关系都可确定一个等价类，因此每个${\displaystyle aH}$是一个等价类。每个${\displaystyle aH}$中含有的元素个数是相等的。

此外，群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构：

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的，叫做H对G的指数。

对于一般的H，集合${\displaystyle \left\{aH|a\in <!--\; \in \; -->G\right\}}$关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b，子集的积${\displaystyle aH\times <!--\; \times \; -->bH=abH}$，但对于${\displaystyle a^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\in <!--\; \in \; -->aH,b^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\in <!--\; \in \; -->bH}$，不一定有${\displaystyle a^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}H\times <!--\; \times \; -->b^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}H=abH}$。群G的正规子群或不变子群H使得${\displaystyle \left\{aH|a\in <!--\; \in \; -->G\right\}}$关于子集的积是这个群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的，统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群，记作${\displaystyle \frac{G}{H}}$。商群的目数等于H对G的指数。