信息论

信息论（英语：information theory）是应用数学、电子学和计算机科学的一个分支，涉及信息的量化、存储和通信等。信息论是由克劳德·香农发展，用来找出信号处理与通信操作的基本限制，如数据压缩、可靠的存储和数据传输等。自创立以来，它已拓展应用到许多其他领域，包括统计推断、自然语言处理、密码学、神经生物学、进化论和分子编码的功能、生态学的模式选择、热物理、量子计算、语言学、剽窃检测、模式识别、异常检测和其他形式的数据分析。熵是信息的一个关键度量，通常用一条消息中需要存储或传输一个符号（英语：Symbol rate）的平均比特数来表示。熵衡量了预测随机变量的值时涉及到的不确定度的量。例如，指定掷硬币的结果（两个等可能的结果）比指定掷骰子的结果（六个等可能的结果）所提供的信息量更少（熵更少）。信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由信道编码定理、信源－信道隔离定理相互联系。信息论的基本内容的应用包括无损数据压缩（如ZIP文件）、有损数据压缩（如MP3和JPEG）、信道编码（如数字用户线路（DSL））。这个领域处在数学、统计学、计算机科学、物理学、神经科学和电机工程学的交叉点上。信息论对航海家深空探测任务的成败、光盘的发明、手机的可行性、互联网的发展、语言学和人类感知的研究、对黑洞的了解，以及许多其他领域都影响深远。信息论的重要子领域有信源编码、信道编码、算法复杂性理论、算法信息论、信息论安全性和信息度量等。信息论的主要内容可以类比人类最广泛的交流手段——语言来阐述。一种简洁的语言（以英语为例）通常有两个重要特点： 首先，最常用的词（比如"a"、"the"、"I"）应该比不太常用的词（比如"benefit"、"generation"、"mediocre"）要短一些；其次，如果句子的某一部分被漏听或者由于噪声干扰（比如一辆车辆疾驰而过）而被误听，听者应该仍然可以抓住句子的大概意思。而如果把电子通信系统比作一种语言的话，这种健壮性（robustness）是不可或缺的。将健壮性引入通信是通过信道编码完成的。信源编码和信道编码是信息论的基本研究课题。注意这些内容同消息的重要性之间是毫不相干的。例如，像“多谢；常来”这样的客套话与像“救命”这样的紧急请求在说起来、或者写起来所花的时间是差不多的，然而明显后者更重要，也更有实在意义。信息论却不考虑一段消息的重要性或内在意义，因为这些是数据的质量的问题而不是数据量（数据的长度）和可读性方面上的问题，后者只是由概率这一因素单独决定的。美国数学家克劳德·香农被称为“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《贝尔系统技术学报（英语：Bell System Technical Journal）》上的论文《通信的数学理论（英语：A Mathematical Theory of Communication）》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和拉尔夫·哈特利（英语：Ralph Hartley）于1920年代先后发表的研究成果。在该文中，香农给出了信息熵的定义：其中 X {displaystyle {mathcal {X}}} 为有限个事件x的集合， X {displaystyle X} 是定义在 X {displaystyle {mathcal {X}}} 上的随机变量。信息熵是随机事件不确定性的度量。信息熵与物理学中的热力学熵有着紧密的联系:其中S(X)为热力学熵，H(X)为信息熵， k B {displaystyle k_{B}} 为波兹曼常数。 事实上这个关系也就是广义的波兹曼熵公式，或是在正则系综内的热力学熵表示式。如此可知，玻尔兹曼与吉布斯在统计物理学中对熵的工作，启发了信息论的熵。信息熵是信源编码定理中，压缩率的下限。当我们用少于信息熵的信息量做编码，那么我们一定有信息的损失。香农在大数定律和渐进均分性（英语：Asymptotic equipartition property）的基础上定义了典型集（英语：Typical set）和典型序列。典型集是典型序列的集合。因为一个独立同分布的 X {displaystyle X} 序列属于由 X {displaystyle X} 定义的典型集的概率大约为1，所以只需要将属于典型集的无记忆 X {displaystyle X} 信源序列编为唯一可译码，其他序列随意编码，就可以达到几乎无损失的压缩。若S为一个三个面的骰子,P(面一)=1/5,P(面二)=2/5,P(面三)=2/5H ( X ) = 1 5 log 2 ⁡ ( 5 ) + 2 5 log 2 ⁡ ( 5 2 ) + 2 5 log 2 ⁡ ( 5 2 ) {displaystyle H(X)={frac {1}{5}}log _{2}(5)+{frac {2}{5}}log _{2}left({frac {5}{2}}right)+{frac {2}{5}}log _{2}left({frac {5}{2}}right)}联合熵（Joint Entropy）由熵的定义出发，由联合分布，我们有:条件熵（Conditional Entropy），顾名思义，从条件概率p(y|x)做定义:因为由贝叶斯法则，我们有 p ( x , y ) = p ( y | x ) p ( x ) {displaystyle p(x,y)=p(y|x)p(x)} ，带入联合熵的定义，可以分离出条件熵，于是得到联合熵与条件熵的关系式:我们可以再对联合熵与条件熵的关系做推广，假设现在有n个随机变量 X i , i = 1 , 2 , . . . , n {displaystyle X_{i},i=1,2,...,n} ，重复分离出条件熵，我们有:他的意义显而易见，假如我们接收一段数列 { X 1 , X 2 , . . . , X n } {displaystyle {X_{1},X_{2},...,X_{n}}} ，且先收到 X 1 {displaystyle X_{1}} ，再来是 X 2 {displaystyle X_{2}} ，依此类推。那么收到 X 1 {displaystyle X_{1}} 后总消息量为 H ( X 1 ) {displaystyle H(X_{1})} ，收到 X 2 {displaystyle X_{2}} 后总消息量为 H ( X 1 ) + H ( X 2 | X 1 ) {displaystyle H(X_{1})+H(X_{2}|X_{1})} ，直到收到 X n {displaystyle X_{n}} 后我们的总消息量应为 H ( X 1 , . . . , X n ) {displaystyle H(X_{1},...,X_{n})} ，于是这个接收过程中就给出了链式法則。互信息（Mutual Information）是另一有用的信息度量，它是指两个事件集合之间的相关性。两个事件 X {displaystyle X} 和 Y {displaystyle Y} 的互信息定义为：其意义为，若我们想知道 Y {displaystyle Y} 包含多少 X {displaystyle X} 的信息，在尚未得到 Y {displaystyle Y} 之前，我们的不确定性是 H ( X ) {displaystyle H(X)} ，得到Y后，不确定性是 H ( X | Y ) {displaystyle H(X|Y)} 。所以一旦得到 Y {displaystyle Y} 后，我们消除了 H ( X ) − H ( X | Y ) {displaystyle H(X)-H(X|Y)} 的不确定量，这就是Y对X的信息量。如果 X , Y {displaystyle X,Y} 互为独立，则 H ( X , Y ) = H ( X ) + H ( Y ) {displaystyle H(X,Y)=H(X)+H(Y)} ，于是 I ( X ; Y ) = 0 {displaystyle I(X;Y)=0} 。又因为 H ( X | Y ) ≤ H ( X ) {displaystyle H(X|Y)leq H(X)} ，所以互信息与G检验（英语：G-test）以及皮尔森卡方检验有着密切的联系。信息论被广泛应用在：