单参数群

✍ dations ◷ 2025-04-02 18:21:00 #李群,一,拓扑群

在数学中,一个单参数群(one-parameter group)或称单参数子群(one-parameter subgroup)通常表示从实数 R(作为加法群)到另一个拓扑群 的一个连续群同态

这意味着它严格说来其实不是一个群;如果 φ 是单射,则其像 φ(R) 是 的一个同构于加法群 R 的子群。这就是说,我们只知道

其中 , 是群在 中的参数。我们可能有

对某个 ≠ 0 成立。譬如 是单位圆是这可能发生,且

在这种情形,φ 的核由 2π 乘以整数组成。

一个单参数群在一个集合上的作用称为流。

一个技术复杂性在于 φ(R) 作为 的子空间的拓扑可能比 R 上的要粗糙;这在 φ 是单射时可能发生。譬如考虑当 是一个环面 ,φ 是沿着一个无理斜率缠绕的直线。

所以一个单参数群或单参数子群需区别于一个群或一个子群自身,有三个原因:

这样的单参数群在李群理论具有基本重要性,其中相伴的李代数中每一个元素定义了这样一个同态,指数映射。在矩阵群的情形,它由矩阵指数给出。

另一个重要情形出现于泛函分析, 是一个希尔伯特空间中的酉算子。参见单参数酉群的斯通定理(英语:Stone's theorem on one-parameter unitary groups)。

鲍尔·科恩(Paul Cohn)在其1957年专题论文《李群》中58页,给出如下定理:

在物理中,单参数子群描述了动力系统。 而且,只要一个物理定律系统满足一个单参数群可微对称,则根据诺特定理有一个守恒量。

在狭义相对论里,快度参数可以用来帮助比较或区别几个不同的惯性参考系。在相对论的运动学理论和动力学理论里,快度替代了速度的地位。由于快度是无界的,快度的单参数群是非紧致的。快度的概念是由 (Alfred Robb) 于 1911 年提出,是十九世纪双曲正规化四元量 (hyperbolic versor) 概念的重新包装。James Cockle 、威廉·金顿·克利福德 、Alexander Macfarlane ,这几位数学物理学家,都曾经在他们的作品中,使用过一个等价的笛卡儿平面映射。这映射的算子是个双曲复数:

其中, a {\displaystyle a\,\!} 是双曲正规化四元量, r r = + 1 {\displaystyle rr=+1\,\!}

请注意, r {\displaystyle r\,\!} 与虚数单位类似。但是, r {\displaystyle r\,\!} 不是虚数单位。并且, r ± 1 {\displaystyle r\neq \pm 1\,\!}

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