比耶鲁姆长度

比耶鲁姆长度（Bjerrum length ）是衡量介质极化程度的一种方法，定义为：在介电常数为 ${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_r}$气体常数 是波兹曼常数 乘上阿伏伽德罗常数 。当使用摩尔数计算粒子数时，较常使用气体常数。比耶鲁姆长度以丹麦化学家比耶鲁姆（英语：Niels Bjerrum）的名字命名。比耶鲁姆长度是电解质体系、聚电解质体系和胶体分散系等中的一个很自然的尺度。

在国际单位制中，比耶鲁姆长度为

其中，${\displaystyle e}$为基本电荷的电量，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$为真空电容率，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_r}$为溶液的相对介电常数。对于水溶液，在室温（${\displaystyle T=300K}$），${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_r\approx <!--\; \approx \; -->80}$，于是${\displaystyle l_B\approx <!--\; \approx \; -->0.7\text{nm}}$

在 高斯单位制中， ${\displaystyle 4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0=1}$ ，比耶鲁姆长度为

${\displaystyle l_B=\frac{e^2}{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_r{k}_{B}T}.}$

基本电子对间的库伦势定义为：

${\displaystyle u\left(r\right)=\frac{e^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{r}r}}$

空气中，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_r}$ = 1，一摩尔相距为 ${\displaystyle r=l_B}$ 的基本电子对，电势能为：

${\displaystyle u\left(l_B\right)=\frac{e^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0{l}_B}N}$

根据比耶鲁姆长度的定义，库伦势等于内能: ${\displaystyle u\left(l_B\right)=RT}$

${\displaystyle \frac{e^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0{l}_B}N=RT\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->l_B=\frac{e^{2}N}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{0}RT}}$

当温度 ${\displaystyle T=298.15K}$ 时:

${\displaystyle l_B=\frac{1.386\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->4}J\cdot <!--\; \cdot \; -->m\cdot <!--\; \cdot \; -->mo{l}^{-<!--\; -\; -->1}}{\left(8.314J{K}^{-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->298.15K\right)}=560\stackrel{\circ <!--\; \circ \; -->}{A}}$

${\displaystyle 560\stackrel{\circ <!--\; \circ \; -->}{A}}$ 在原子尺度上来说是一个非常长的距离，是原子半径的许多倍，当两个电荷的距离比这个距离小的时候，它们会感受到非常强烈的吸引（或排斥）力，由于库仑势能比布朗运动的能量高，它们会变得有规则。反之，当距离大于比耶鲁姆长度的时候，库仑力对电荷的束缚比较小，电荷显得更加自由。