克罗内克δ函数

在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}$或。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

克罗内克函数有筛选性：对任意 ${\displaystyle j\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$, , , , , and 等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。

在线性代数中，单位矩阵可以写作 ${\displaystyle ({\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}{)}_{i,j=1}^n}$ 。

在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 ${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j^i}$ 。

这个(1,1)向量表示:

定义广义克罗内克函数为 ${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$ 矩阵的行列式，以方程式表达为

其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j^i}$ 是个张量函数，定义为 ${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_j^i\stackrel{def}{=}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}$ 。

以下列出涉及广义克罗内克函数的一些恒等式：

其中，${\displaystyle T_{j_1{j}_2\dots <!--\; \dots \; -->j_n}}$ 是 ${\displaystyle n}$ 阶张量。

对任意的整数 ${\displaystyle n}$ ，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价：