伯利坎普－韦尔奇算法

✍ dations ◷ 2025-06-08 16:23:47 #有限域,编码理论,信息论,错误检测与校正

伯利坎普－韦尔奇算法（英语：Berlekamp-Welch algorithm）是一种用于高效地解码BCH码与里德-所罗门码的算法，其名取自埃尔温·伯利坎普与劳埃德·韦尔奇。伯利坎普－韦尔奇算法的优点在于这一算法仅需利用矩阵运算。这一算法的时间复杂度为 $O(N^{3})$ $O(N^{3})$ 。

伯利坎普－韦尔奇算法通常被用于解码里德-所罗门码。假使在有限体 $GF(q)$ $GF(q)$ 上有 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个数字 $m_{1},\dots ,m_{n}$ $m_{1},\dots ,m_{n}$ ，利用RS码编为 $n-1$ $n-1$ 次多项式 $P(i)=m_{i}$ $P(i)=m_{i}$ 。如果已知传输信道会错误传输 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个值，那么RS码可以传输 $P(i)$ $P(i)$ 上的 $n+2k$ $n+2k$ 个点 $(i,P(i))$ $(i,P(i))$ 。因此，解码者的问题在于要辨认出哪 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个点是错误的。令解码者接收到的点值为 $R(i)$ $R(i)$ ，可以看出对于且仅对于所有正确传输的点 $i {\displaystyle i}$ $i$ ， $P(i)=R(i)$ $P(i)=R(i)$ 。

伯利坎普－韦尔奇算法引入了错误辨认多项式的概念，也即多项式 $E(i)=(i-e_{1})(i-e_{2})\dots (i-e_{k})$ $E(i)=(i-e_{1})(i-e_{2})\dots (i-e_{k})$ ，其中 $e {\displaystyle e}$ $e$ 的值为所有 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个错误传输的点的 $i {\displaystyle i}$ $i$ 值（均未知）。由于 $E(i)=0$ $E(i)=0$ 当且仅当 $i {\displaystyle i}$ $i$ 对应一个错误传输的点，可以看出对于所有 $i {\displaystyle i}$ $i$ 值， $P(i)E(i)=R(i)E(i)$ $P(i)E(i)=R(i)E(i)$ ，其中 $R(i)$ $R(i)$ 对于所有i均为已知常量。令 $Q(i)=R(i)E(i)$ $Q(i)=R(i)E(i)$ ，可以看出左侧为一个 $n+k-1$ $n+k-1$ 次的多项式，右侧为一个 $k {\displaystyle k}$ $k$ 次的多项式，但其最高次系数为1。因此，整个线性系统有 $n+2k$ $n+2k$ 个方程式与 $n+2k$ $n+2k$ 个未知数，可以用线性代数的方法解出，并可以由 $P(i)=Q(i)/E(i)$ $P(i)=Q(i)/E(i)$ 解出原始的编码多项式并读出编码值 $m_{1},\dots ,m_{n}$ $m_{1},\dots ,m_{n}$ 。

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