皮尔西积分

皮尔西积分(Pearcey Integral)是一种在论述光的传播、光的衍射、分岔理论、突变理论以及关于特殊函数的渐进展开式的研究中常见的多鞍点积分，其定义为

${\displaystyle P(x,y)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\exp <!--\; \; -->(I\ast <!--\; \ast \; -->(t^4+x\ast <!--\; \ast \; -->t^2+y\ast <!--\; \ast \; -->t))}$

=${\displaystyle -<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}Pi)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->(1/4\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->y^2/x)\ast <!--\; \ast \; -->(limit(exp(I\ast <!--\; \ast \; -->t^4)\ast <!--\; \ast \; -->erf(I\ast <!--\; \ast \; -->x\ast <!--\; \ast \; -->t/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->y/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x)),t=infinity))/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x)+(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}Pi)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->(1/4\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->y^2/x)\ast <!--\; \ast \; -->(limit(exp(I\ast <!--\; \ast \; -->t^4)\ast <!--\; \ast \; -->erf(I\ast <!--\; \ast \; -->x\ast <!--\; \ast \; -->t/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->y/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x)),t=-<!--\; -\; -->infinity))/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x)+(2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}Pi)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->(1/4\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->y^2/x)\ast <!--\; \ast \; -->(int(exp(I\ast <!--\; \ast \; -->t^4)\ast <!--\; \ast \; -->erf(I\ast <!--\; \ast \; -->x\ast <!--\; \ast \; -->t/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->y/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x))\ast <!--\; \ast \; -->t^3,t=-<!--\; -\; -->infinity..infinity))/\sqrt{(}-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->x)}$

对于大的${\displaystyle |x|}$,皮尔逊积分的被积分函数左右各有三个鞍点。

在右平面的鞍点是

${\displaystyle rs1:=-<!--\; -\; -->(1/3)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}6)\ast <!--\; \ast \; -->sinh((1/3)\ast <!--\; \ast \; -->arcsinh((3/4)\ast <!--\; \ast \; -->y\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}3)/x^{(}3/2)))}$

${\displaystyle rs2:=(1/3)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}6)\ast <!--\; \ast \; -->sinh((1/3)\ast <!--\; \ast \; -->arcsinh((3/4)\ast <!--\; \ast \; -->y\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}3)/x^{(}3/2))+(1/3\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)}$

${\displaystyle s3:=-<!--\; -\; -->(1/3\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}6)\ast <!--\; \ast \; -->cosh((1/3)\ast <!--\; \ast \; -->arcsinh((3/4)\ast <!--\; \ast \; -->y\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}3)/x^{(}3/2))+(1/6\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)}$

左平面的鞍点是：

${\displaystyle ls1:=-<!--\; -\; -->(1/3)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}6)\ast <!--\; \ast \; -->sin((1/3)\ast <!--\; \ast \; -->arcsin((3/4)\ast <!--\; \ast \; -->y\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}3)/x^{(}3/2))+(1/3)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)}$

${\displaystyle ls3:=(1/3)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}6)\ast <!--\; \ast \; -->cos((1/3)\ast <!--\; \ast \; -->arcsin((3/4)\ast <!--\; \ast \; -->y\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}3)/x^{(}3/2))+(1/6)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)}$

${\displaystyle ls2:=(1/3)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}6)\ast <!--\; \ast \; -->sin((1/3)\ast <!--\; \ast \; -->arcsin((3/4)\ast <!--\; \ast \; -->y\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}3)/x^{(}3/2)))}$

皮尔西积分的分岔曲线为

${\displaystyle 27\ast <!--\; \ast \; -->x^2=-<!--\; -\; -->8y^3}$

皮尔西积分的斯托克斯曲线为

${\displaystyle y^3=\frac{27}{4}(\sqrt{(}27)-<!--\; -\; -->5)x^2}$

在（x,y)平面中，分岔曲线和斯托克斯曲线将平面分化为尖点突变区。

Hadamard expansions.Journal of Computational and Applied Mathematics 190 (2006) 437–452