超过剩数

✍ dations ◷ 2025-08-26 14:22:49 #除数函数,整数数列

超过剩数（superabundant number，有时会简称SA）是指一正整数，对于所有较小的正整数m，下式恒成立：

其中σ为除数函数，是所有正因数（包括本身）的和。

头几个超过剩数为：1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... （OEIS中的数列A004394）.

超过剩数是莱昂尼达斯·Alaoglu（英语：Alaoglu）及保罗·艾狄胥在1944年定义的。不过早在1919年时拉马努金就有30页的论文《Highly Composite Numbers》有关此一主题，但当时没有发表，最后在1997年的拉马努金期刊（Ramanujan Journal） 1中出版（第119至153页），此论文的第59段定义了广义的高合成数，其中也包括了超过剩数。

Alaoglu及保罗·艾狄胥证明若为超过剩数，则存在及₁, ₂, ..., 使得下式成立：

其中_l为第个质数，而且

换句话说，若为超过剩数，的因数分解的幂次会由前往后的递减，因数分解越前面的质因数越小，但其幂次会越大。

事实上，除了n为4或36的特例外，（最大质因数的幂次）均为1。

超过剩数和高合成数之间有关，但不是所有的超过剩数都是高合成数。事实上只有 449个整数恰好超过剩数及高合成数。例如7560是高合成数，但不是超过剩数。Alaoglu及保罗·艾狄胥发现所有的超过剩数都是高过剩数，但不是所有的高过剩数都是超过剩数。也不是所有的超过剩数都是哈沙德数（可以被数字和整除的整数），第一个例外是第105个高过剩数149602080797769600，其数字和为81，但这个高过剩数无法被81整除。

超过剩数受人注意的另一原因是和黎曼猜想有关，根据罗宾定理，黎曼猜想等于以下的式子：

针对所有大于已知最大例外值的正整数，而已知最大例外值为超过剩数5040，若存在另外一些较大的数使得黎曼猜想不成立，则这些反例的最小值一定是另一个超过剩数。

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