活动标架法

✍ dations ◷ 2025-10-21 18:54:25 #微分几何,联络

数学上,光滑流形上的标架可以理解为从一点到一点变化的标架。给定一个这样的流形和一个其中的点,在点的一个标架表示一个在点的切空间的向量空间基底。也就是说,若维数为,我们给定个切向量1, ..., ,属于在的切空间,而且线性独立。在的某个邻域的一个活动标架要求我们给定

每个都是定义在上的向量场,全都假设为作为的函数在中光滑,并且在每一点线性无关(为简单起见假设处处维数为)。

用非常一般的术语来讲,这样一个活动标架是广义相对论中的一个观测者的要求,在那里每个从到附近点的连续对i的选择都是平等的。而狭义相对论中,被取为一个四维的向量空间。在那种情况下,i可以简单的从平移到其它点。

在相对论和黎曼几何中,最重要的活动标架是和标架,也就是在每一点(单位长度的)互相垂直的向量的有序集。在给定一点可以通过正交化将任意标架变成正交;事实上,这可以以光滑的方式达到,因而一个活动标架的存在也就隐含了活动正交标架的存在。

活动标架在上局部的存在性是很显然的,这可以由流形的切丛是一个向量丛,需要满足局部平凡的条件得到;但是在上的全局存在性要求拓扑条件的满足。例如,当是一个圆圈,或者是一个环,这样的标架存在;但是当是一个二维球时却不存在。存在一个全局活动标架的流形称为可平行化的,其等价于M的切丛TM是平凡的。注意,例如将纬度和经度的单位方向作为地球表面上的活动标架在北极和南极会有问题。

埃里·嘉当的活动标架法基于对于所研究的特定问题取一个相应的活动标架。例如,给定一个空间中的曲线,曲线的前三个导数通常可以给出其上一点一个标架(参看定量的形式参看挠率-它假设挠率非0)。更一般地,活动标架的抽象含义是将切丛作为一个向量丛时,其伴随丛主丛的一个截面。一般的嘉当方法利用了这点,并在嘉当联络中讨论。

对于球面只有 S 1 {\displaystyle S^{1}} S 3 {\displaystyle S^{3}} S 7 {\displaystyle S^{7}} 是可平行化的,其中 S 1 {\displaystyle S^{1}} S 3 {\displaystyle S^{3}} 的可平行化性质可以从他们拓扑等价于李群 U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} 看出。光滑李群的切丛光滑同胚于李群本身与李代数的直积,因此必然是平凡的。

相关

  • 七姐织女是天帝与王母娘娘所生的七仙女的幺女,排行第七,工作是编织神仙的衣服以及天上的云彩,是纺织业者、情侣、妇女、儿童的守护神,著名的民间故事牛郎织女的女主角,古代中国天文中
  • 沃希托沃希托国家森林(英语:Ouachita National Forest)是美国的一座国家森林,位于阿肯色州的中西部和俄克拉荷马州的东部。
  • 柠檬汁柠檬(学名:Citrus limon)为芸香科柑橘属的一种,是原产于亚洲的常绿小乔木,其果实为黄色椭圆状。柠檬的起源成谜,但是普遍认为其源自缅甸北部与中国。一项针对柠檬基因来源的研究表
  • 李商隐李商隐(813年1-约858年),字义山,号玉谿生、樊南生,晚唐诗人,祖籍陇西狄道(今甘肃省临洮县),祖辈迁荥阳(今河南郑州)。诗作文学价值很高,他和杜牧合称“小李杜”,与温庭筠合称为“温李”,与
  • 李博 (植物生态学家)李博(1929年4月15日-1998年5月21日),山东夏津县人,植物生态学家。1953年毕业于北京农业大学。担任内蒙古大学教授,1993年当选中国科学院生物学部院士。他是第九届全国人大代表、中
  • 黑色领结黑色领结(英语:Black Tie),是一个西方社会的着装守则,源于19世纪英美服装公约(Anglo-American costume conventions)的夜间活动和社交功能的着装要求。通常于下午6时以后穿着,黑色领
  • 追良濑站追良濑站(日语:追良瀬駅/おいらせえき  */?)位于青森县西津轻郡深浦町大字追良濑字盐见崎,是东日本旅客铁道(JR东日本)管辖的五能线上的铁路车站。侧式站台1台1线的地上车站。之
  • 蔡震蔡震,明朝驸马,操行谨慎。明宪宗成化五年(1466年)娶明英宗皇女淳安公主。明武宗正德五年(1510年)宦官刘瑾被弹劾下狱,刘瑾于是乱指大臣依附自己,廷臣无人敢审问他。蔡震厉声道:“我皇
  • 人性向善论人性向善论或简称向善论,是以先秦儒家性善观点为基础的人性论主张,强调人性中有自我要求行善的力量。人性向善论认为,由于人始终在变化之中,我们不宜直接说“人性是什么”,只能说
  • 精灵图在计算机图形学中,当一张二维图像集成进场景中,成为整个显示图像的一部分时,这张图就称为精灵图(英语:Sprite)。常见碳酸饮料雪碧的英文名也是 Sprite,因此也有人会使用雪碧图的非