结构群的约化

✍ dations ◷ 2025-08-03 22:19:54 #流形上的结构,纤维丛,微分拓扑学,微分几何

数学中,特别是在主丛理论中,我们可问一个 G {\displaystyle G} -丛 与映射 → (不必是包含),结构群的约化(从 到 )是一个 -丛 B H {\displaystyle B_{H}}

注意到这不一定存在,如果存在也不必惟一。

作为一个实例,每个偶数维实向量空间是一个复向量空间的背景实空间:它有一个线性复结构。一个实向量空间有一个殆复结构当且仅当它是一个复向量丛的背景实丛。这是沿着包含 (,C) → (2,R) 的一个约化。

用转移映射的术语来说,一个 -丛可以约化当且仅当转移映射可以取值于 。注意术语约化可能有误导性:它暗示 是 的一个子群,这是通常的情形,但不是必须的(比如自旋流形):更准确的说法是一个提升。

更抽象地,“ 上 -丛”是 的一个函子:给定一个映射 → ,诱导一个从 -丛到 -丛的一个映射(见上)。-丛 结构群的约化选择一个 -丛使其像是 。

从 -丛到 -丛的包含映射一般不是满的也不是单的,故结构群不是总能约化,且如果可以时,约化也不必是惟一的。例如,不是每个流形是定向的,而可定向的流形恰有两个定向。

如果 是 的一个子李群,则在 -丛 到 的约化与 商去由 的作用得到的纤维丛 / 之整体截面之间有一个一一对应。具体地,纤维化 → / 是 / 上一个主 -丛。如果 σ : → / 是一个截面,则拉回丛 H = σ−1 是 的一个约化。

向量丛的一些例子,特别是一个流形的切丛]]:

许多几何结构强于 -结构;它们是具有一个可积性条件的 -结构。从而这样一个结构要求一个结构群的约化(可能有阻碍,见下),但这不是充足的。这样的例子包括复结构、辛结构(相对于殆复结构与殆辛结构)。

另一个例子关于叶状结构,这要求将切丛结构群约化为一个分块矩阵,以及一个可积性条件,于是便可用弗罗贝尼乌斯定理。

-丛由分类空间 分类,类似的 -丛由分类空间 分类,一个 -丛上的诱导 -结构对应于包含映射 B H B G {\displaystyle BH\to BG} -丛,结构群的约化之阻碍是 ξ {\displaystyle \xi } 作为一个到上纤维 B G / B H {\displaystyle BG/BH} 映射的类;结构群可以约化当且仅当 ξ ¯ {\displaystyle {\bar {\xi }}} 所在的类是零同伦的。

H G {\displaystyle H\to G} 是同伦等价的,上纤维可缩,从而结构群的约化没有阻碍,例如 O ( n ) G L ( n ) {\displaystyle O(n)\to GL(n)}

反之,由平凡群包含 e G {\displaystyle e\to G} 诱导的上纤维还是 B G {\displaystyle BG} ,故绝对平行(丛的平凡化)的阻碍是丛的类。

作为一个简单的例子,视一个 G {\displaystyle G} -空间为一点上的 G {\displaystyle G} -丛,将一个 G {\displaystyle G} -空间约化为 H {\displaystyle H} -空间没有阻碍。在此情形分类映射是零同伦,因定义域是一个点。从而“向量空间结构群的约化”没有任何阻碍;故任何向量空间有一个定向,等等。

相关

  • 电磁相互作用电磁力(英语:electromagnetic force)是处于电场、磁场或电磁场的带电粒子所受到的作用力。大自然的四种基本力中,电磁力是其中一种,其它三种是强作用力、弱作用力、引力。光子是
  • 干冰干冰是二氧化碳的固体形式。在正常气压下,二氧化碳的凝固点是摄氏负78.5度,在保持物体维持冷冻或低温状态下非常有用。其无色、无味、不易燃、略带酸性。干冰的密度各不相同,但
  • 血红小檗血红小檗(学名:Berberis sanguinea)是小檗科小檗属的植物,是中国的特有植物。分布于中国大陆的四川、湖北等地,生长于海拔1,100米至3,800米的地区,多生于山坡阳处、草坡、路旁、河
  • 纯粹与应用化学纯粹与应用化学(英语:Pure and Applied Chemistry,缩写:Pure Appl. Chem.)是国际纯粹与应用化学联合会(IUPAC)的官方会刊。它每月发行,包含推荐、报告和论文集等。
  • 乐命达拉莫三嗪(lamotrigine;LTG、嗪/qín)。葛兰素史克注册为Lamictal,在南非称作Lamictin、以色列叫做Lamogine、在台湾称作乐命达、在韩国则称라믹탈。是一种苯三嗪类的广谱抗癫痫
  • 重铬酸钠重铬酸钠是一种无机化合物,俗称红矾钠,化学式为Na2Cr2O7,橘红色晶体,常以二水合物的形式(Na2Cr2O7·2H2O)使用。其化学性质与重铬酸钾类似,在水中的溶解度约是后者的20倍(49 g/L、0
  • 俄罗斯中央城际客运铁路公司中央城际客运铁路公司(俄语:Центральная пригородная пассажирская компания»,ОАО (Центральная ППК))是俄罗斯一
  • 丹尼尔·施内德芒丹尼尔·施内德芒(Daniel Schneidermann , 1958年4月5日-)是法国的一位媒体评论员,在巴黎出生。他的正职是一位记者,在法国多份报章都有专栏,并在电视上有媒体评论的节目。
  • 刘蓉芳刘蓉芳(1930年-2020年7月4日),湖南省湘潭县茶恩寺镇熊家桥村人,侵华日军慰安妇幸存者,亦是另一位侵华日军慰安妇幸存者刘慈珍的妹妹。1944年冬,在老家熊家桥被侵华日军掠走,她们被关
  • 巴蒂·韦伯巴蒂(让-巴蒂斯特)·韦伯(法语:Batty (Jean-Baptiste) Weber ;1860年11月25日-1940年12月14日),卢森堡作家。1860年11月25日出生于卢森堡西南部小城吕姆朗日,他的父亲是当地教师,名为