排中律

✍ dations ◷ 2025-04-03 12:09:40 #思维规律,逻辑

在逻辑中,排中律(拉丁语:tertium non datur)声称对于任何命题 P {\displaystyle P} ( P ¬ P ) {\displaystyle (P\vee \neg P)} 为真。

符号 ' ¬ {\displaystyle \neg } ' 读作“非”, {\displaystyle \vee } 读作“或”, {\displaystyle \wedge } 读作“与”。

例如,如果 P {\displaystyle P}

则包含式析取

为真。

这不完全同于二值原理,它陈述的是 P 必须要么是真要么是假。它也不同于无矛盾律,它陈述的是 ¬ ( P ¬ P ) {\displaystyle \neg (P\wedge \neg P)} 是真。排中律只是说 ( P ¬ P ) {\displaystyle (P\vee \neg P)} 整体是真。不提及 P {\displaystyle P} 自身可以采用什么真值。在任何情况下,任何二值逻辑的语义都将为 P {\displaystyle P} ¬ P {\displaystyle \neg P} 指派对立的真值(就是说,如果 P {\displaystyle P} 是真,则 ¬ P {\displaystyle \neg P} 是假),所以在二值逻辑中排中律会等价于二值原理。但是,对于非二值逻辑或多值逻辑就不能这么说。

特定的逻辑系统可能通过允许多于两个真值(比如:真、假、中;真、假、非真非假、亦真亦假)而拒绝二值原理,但接受排中律。在这种逻辑中, ( P ¬ P ) {\displaystyle (P\vee \neg P)} 可以为真,而 P {\displaystyle P} ¬ P {\displaystyle \neg P} 不被分别指派为对立的真值。

一些逻辑不接受排中律,最著名的是直觉逻辑。文章《二值和有关规律》中详细地讨论了这个问题。

排中律可能被误用,导致排中律的逻辑谬论,这也叫做假两难推理。

证明: 存在无理数 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ,满足 a b {\displaystyle a^{b}} 的值为有理数

假设 a = 2 , b = 2 , c = a b = 2 2 {\displaystyle a={\sqrt {2}},b={\sqrt {2}},c=a^{b}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

1.假设 c {\displaystyle c} 是有理数, 则证明成立

2.假设c是无理数, c 2 = ( 2 2 ) 2 = 2 2 = 2 {\displaystyle c^{\sqrt {2}}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}

(也就是说 a = c , b = 2 {\displaystyle a=c,b={\sqrt {2}}} )

这里的证明需要假设 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} 既是有理数又是无理数,换言之则假设了排中律的成立.

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