勒让德定理

✍ dations ◷ 2025-04-02 08:39:01 #数学定理,数论

在正数n!的质因子标准分解式中,质数p的指数记作 $L_{p}$ $L_{p}$ (n!),则 $L_{p}$ $L_{p}$ (n!)= $\sum _{k>=1}$ $\sum _{k>=1}$ .

勒让德定理是由法国数学家勒让德发现证明的.

若把2,3,...,n都分解成了标准分解式,则 $L_{p}$ $L_{p}$ (n!)就是这n-1个分解式中p的指数和.设其中p的指数为r的有 $n_{r}$ $n_{r}$ 个( $r>=1$ $r>=1$ ),则 $L_{p}$ $L_{p}$ (n!)= $n_{1}+2n_{2}+3n_{3}+...=$ $n_{1}+2n_{2}+3n_{3}+...=$ $\sum _{r>=1}rn_{r}$ $\sum _{r>=1}rn_{r}$ $=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{2}+n_{3}+...+n_{3}+...=N_{1}+N_{2}+N_{3}+...=$ $=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{2}+n_{3}+...+n_{3}+...=N_{1}+N_{2}+N_{3}+...=$ $\sum _{k>=r}N_{r}$ $\sum _{k>=r}N_{r}$ 其中 $N_{r}=n_{r}+n_{r+1}+...=$ $N_{r}=n_{r}+n_{r+1}+...=$ $\sum _{k>=r}n_{k}$ $\sum _{k>=r}n_{k}$ 恰好是2,3,...,n这n-1个数中能被 $p^{r}$ $p^{r}$ 除尽的数的个数,即 $N_{r}$ $N_{r}$ = ${\displaystyle }$ $\text{[math]}$ 得证.

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