勒让德定理

在正数n!的质因子标准分解式中,质数p的指数记作${\displaystyle L_p}$(n!),则${\displaystyle L_p}$(n!)=${\displaystyle \underset{k>=1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$.

勒让德定理是由法国数学家勒让德发现证明的.

若把2,3,...,n都分解成了标准分解式,则${\displaystyle L_p}$(n!)就是这n-1个分解式中p的指数和.设其中p的指数为r的有${\displaystyle n_r}$个(${\displaystyle r>=1}$),则${\displaystyle L_p}$(n!)=${\displaystyle n_1+2n_2+3n_3+...=}$${\displaystyle \underset{r>=1}{\sum <!--\; \sum \; -->}r{n}_r}$${\displaystyle =n_1+n_2+n_3+...+n_2+n_3+...+n_3+...=N_1+N_2+N_3+...=}$${\displaystyle \underset{k>=r}{\sum <!--\; \sum \; -->}{N}_r}$其中${\displaystyle N_r=n_r+n_{r+1}+...=}$${\displaystyle \underset{k>=r}{\sum <!--\; \sum \; -->}{n}_k}$恰好是2,3,...,n这n-1个数中能被${\displaystyle p^r}$除尽的数的个数,即${\displaystyle N_r}$=${\displaystyle }$得证.