自旋-轨道作用

在量子力学里，一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用，称为自旋-轨道作用（英语：Spin–orbit interaction），也称作自旋-轨道效应或自旋-轨道耦合。最著名的例子是电子能级的位移。电子移动经过原子核的电场时，会产生电磁作用．电子的自旋与这电磁作用的耦合，形成了自旋-轨道作用。谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移，证实了自旋-轨道作用理论的正确性。另外一个类似的例子是原子核壳层模型能级的位移。半导体或其它新颖材料常常会涉及电子的自旋-轨道效应。自旋电子学专门研究与应用这方面的问题。在这篇文章里，会以相当简单与公式化的方式，详细地讲解一个束缚于原子内的电子的自旋-轨道作用理论。这会用到电磁学、非相对论性量子力学、一阶摄动理论。这自旋-轨道作用理论给出的答案，虽然与实验结果并不完全相同，但相当的符合。更严谨的导引应该从狄拉克方程开始，也会求得相同的答案。若想得到更准确的答案，则必须用量子电动力学来计算微小的修正。这两种方法都在本条目范围之外。虽然在原子核的静止参考系 (rest frame) ，并没有作用在电子上的磁场；在电子的静止参考系，有作用在电子上的磁场存在。暂时假设电子的静止参考系为惯性参考系，则根据狭义相对论，磁场 B {displaystyle mathbf {B} ,!} 是其中， v {displaystyle mathbf {v} ,!} 是电子的速度， E {displaystyle mathbf {E} ,!} 是电子运动经过的电场， c {displaystyle c,!} 是光速。以质子的位置为原点，则从质子产生的电场是其中， Z {displaystyle Z,!} 是质子数量（原子序数）， e {displaystyle e,!} 是单位电荷量， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0},!} 是真空电容率， r ^ {displaystyle {hat {r}},!} 是径向单位矢量， r {displaystyle r,!} 是径向距离，径向矢量 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 是电子的位置。电子的动量 p {displaystyle mathbf {p} ,!} 是其中， m {displaystyle m,!} 是电子的质量。所以，作用于电子的磁场是其中， L {displaystyle mathbf {L} ,!} 是角动量， L = r × p {displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p} ,!} 。B {displaystyle mathbf {B} ,!} 是一个正值因子乘以 L {displaystyle mathbf {L} ,!} ，也就是说，磁场与电子的轨道角动量平行。电子的磁矩 μ {displaystyle {boldsymbol {mu }},!} 是其中， γ = g s q e 2 m {displaystyle gamma ={frac {g_{s}q_{e}}{2m}},!} 是回转磁比率 (gyromagnetic ratio) ， S {displaystyle mathbf {S} ,!} 是自旋角动量， g s {displaystyle g_{s},!} 是电子自旋g因数， q e {displaystyle q_{e},!} 是电荷量。电子的g-因数（g-factor）是 2 {displaystyle 2,!} ，电荷量是 − e {displaystyle -e,!} 。所以，电子的磁矩与自旋反平行。自旋-轨道作用的哈密顿量摄动项目是代入 μ {displaystyle {boldsymbol {mu }},!} 的公式 (3) 和 B {displaystyle mathbf {B} ,!} 的公式(2)，经过一番运算，可以得到一直到现在，都还没有考虑到电子静止坐标乃非惯性坐标。这事实引发的效应称为托马斯进动 (Thomas precession) 。因为这效应，必须添加因子 1 / 2 {displaystyle 1/2,!} 在公式里。所以，在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量摄动项目以后，现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地，想要找到 H 0 {displaystyle H_{0},!} 的本征函数形成的基底，使 H ′ {displaystyle H',!} 能够对角化。为了找到这基底，先定义总角动量算符 J {displaystyle mathbf {J} ,!} ：总角动量算符与自己的内积是所以，请注意 H ′ {displaystyle H',!} 与 L {displaystyle mathbf {L} ,!} 互相不对易， H ′ {displaystyle H',!} 与 S {displaystyle mathbf {S} ,!} 互相不对易。读者可以很容易地证明这两个事实。由于这两个事实， H 0 {displaystyle H_{0},!} 与 L {displaystyle mathbf {L} ,!} 的共同本征函数不能被当做零摄动波函数，用来计算一阶能量位移 E ( 1 ) {displaystyle E^{(1)},!} 。 H 0 {displaystyle H_{0},!} 与 S {displaystyle mathbf {S} ,!} 的共同本征函数也不能被当做零摄动波函数，用来计算一阶能量位移 E ( 1 ) {displaystyle E^{(1)},!} 。可是， H ′ {displaystyle H',!} 、 J 2 {displaystyle J^{2},!} 、 L 2 {displaystyle L^{2},!} 、 S 2 {displaystyle S^{2},!} ，这四个算符都互相对易。 H 0 {displaystyle H_{0},!} 、 J 2 {displaystyle J^{2},!} 、 L 2 {displaystyle L^{2},!} 、 S 2 {displaystyle S^{2},!} ，这四个算符也都互相对易。所以， H 0 {displaystyle H_{0},!} 、 J 2 {displaystyle J^{2},!} 、 L 2 {displaystyle L^{2},!} 、 S 2 {displaystyle S^{2},!} ，这四个算符的共同本征函数 | n , j , l , s ⟩ {displaystyle |n,j,l,srangle ,!} 可以被当做零摄动波函数，用来计算一阶能量位移 E n ( 1 ) {displaystyle E_{n}^{(1)},!} ；其中， n {displaystyle n,!} 是主量子数， j {displaystyle j,!} 是总角量子数， l {displaystyle l,!} 是角量子数， s {displaystyle s,!} 是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底，就是想要寻找的基底。这共同本征函数 | n , j , l , s ⟩ {displaystyle |n,j,l,srangle ,!} 的 L ⋅ S {displaystyle mathbf {L} cdot mathbf {S} ,!} 的期望值是其中，电子的自旋 s = 1 / 2 {displaystyle s=1/2,!} 。经过一番繁琐的运算，可以得到 r − 3 {displaystyle r^{-3},!} 的期望值其中， a 0 = 4 π ϵ 0 ℏ 2 m e 2 {displaystyle a_{0}={frac {4pi epsilon _{0}hbar ^{2}}{me^{2}}},!} 是玻尔半径。将这两个期望值的公式代入，能级位移是经过一番运算，可以得到其中， E n ( 0 ) = Z 2 ℏ 2 2 m a 0 2 n 2 {displaystyle E_{n}^{(0)}={frac {Z^{2}hbar ^{2}}{2ma_{0}^{2}n^{2}}},!} 是主量子数为 n {displaystyle n,!} 的零摄动能级。特别注意，当 l = 0 {displaystyle l=0,!} 时，这方程会遇到除以零的不可定义运算；虽然分子项目 j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − 3 / 4 = 0 {displaystyle j(j+1)-l(l+1)-3/4=0,!} 也等于零。零除以零，仍旧无法计算这方程的值。很幸运地，在精细结构能量摄动的计算里，这不可定义问题自动地会消失。事实上，当 l = 0 {displaystyle l=0,!} 时，电子的轨道运动是球对称的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来， l = 0 {displaystyle l=0,!} 球谐函数是由于完全跟角度无关，角动量也是零，电子并不会感觉到任何磁场，所以，电子的 l = 0 {displaystyle l=0,!} 轨道没有自旋-轨道作用。