代数Riccati方程

代数Riccati方程（algebraic Riccati equation）是最优控制的非线性方程，和连续时间（英语：continuous time）或是离散时间下，无限时间（infinite-horizon）的最优控制有关。

标准的代数Riccati方程如下：

连续时间代数Riccati方程（CARE）：

离散时间代数Riccati方程（DARE）：

是未知数的×对称矩阵，、、及是已知实系数矩阵。

一般而言此方程式有许多的解，不过若有存在稳定解的话，希望可以找到稳定解。

此方程名称中有Riccati，是因为和Riccati方程的关系。连续时间代数Riccati方程（CARE）可以由相关矩阵值的Riccati微分方程的非时变解来验证。离散时间代数Riccati方程（DARE）可以由矩阵值的Riccati微分方程的非时变解来验证（类似离散时间LQR下的Riccati微分方程）。

在无限时间的最佳控制问题中，关注的是一些变数在相当时间之后的值，因此需在现在选定控制变数的值，让系统在之后的时间都在最佳状态下运作。控制变数在任意时间下的最佳值可以用Riccati方程的解以及状态变数当时的观测值求得。若观测变数及控制变数都不只一个，Riccati方程就会是矩阵方程。

代数Riccati方程可以决定无限时间下非时变LQR控制器的解，以及无限时间下非时变LQG控制的解。这两个是控制理论中的基础问题。

典型的离散时间LQR问题，是要最小化以下的函数

其状态方程如下

其中 是 × 1 的状态变数向量， 是 × 1 的控制变数向量， 是 × 的状态递移矩阵， 是 × 的控制系数矩阵， ( × ) 是对应半正定状态损失函数矩阵， ( × ) 是对应正定的控制损失函数矩阵。

从最后时间往前的推导可以找到每一个时间的最佳控制解

其中对应正定cost-to-go矩阵 会依下式，配合${\displaystyle P_T=Q}$的稳态解和和趋近无限大时的无限时间问题有关，可以将动态方程反复迭代直到收敛，来求得的稳态解，之后再将动态方程中的时间标注移除，来确认稳态解是否正确。

若代数Riccati方程存在稳定解，求解器一般会设法找到唯一的稳定解。稳定解的意思是指用此解控制相关的LQR系统，可以使闭回路的系统稳定。

针对CARE，其控制律为

闭回路递移矩阵为

其稳定的充份必要条件是所有的特征值都有负的实部。

针对DARE，其控制律为

闭回路递移矩阵为

其稳定的充份必要条件是所有的特征值在复数平面的单位圆内。

代数Riccati方程的解可以用Riccati方程的的迭代或是矩阵因式分解求得。离散时间问题的一种迭代方式是由有限时间问题下的动态Riccati方程，每一次迭代时，矩阵中的值都是从最终时间往前一段有限时间内的最佳解，若进行无限长的迭代。就会分敛到特定矩阵，是无限时间内的最佳解。

针对大型系统，也可以用找特征分解的方式求解。针对CARE，可以定义汉弥尔顿矩阵

因为${\displaystyle Z}$是汉弥尔顿矩阵，若在虚轴上没有特征值，则会有恰好一半的特征值会有负的实部。若定义${\displaystyle 2n\times <!--\; \times \; -->n}$矩阵，其纵排（column）形成对应子空间的基底，表示为区块矩阵的形式，如下所示

则

是Riccati方程的解。而且${\displaystyle A-<!--\; -\; -->B{R}^{-<!--\; -\; -->1}{B}^{T}P}$的特征值即为${\displaystyle Z}$特征值中有负实部的特征值。

针对DARE，若${\displaystyle A}$是可逆矩阵，可以定义辛矩阵

因为${\displaystyle Z}$是辛矩阵，若在单位圆圆周上没有特征值，则会有恰好一半的特征值会在单位圆内。若定义${\displaystyle 2n\times <!--\; \times \; -->n}$矩阵，其纵排（column）形成对应子空间的基底，表示为区块矩阵的形式，如下所示则

是Riccati方程的解。而且${\displaystyle A-<!--\; -\; -->B(R+B^{T}PB{)}^{-<!--\; -\; -->1}{B}^{T}PA}$的特征值即为${\displaystyle Z}$特征值中，在单位圆内的特征值。