正则地区图

在数学中，正则地区图（regular map）是指封闭曲面上的对称镶嵌图。更精确地说，正则地区图是将某个二维流形分解为具对称性之拓朴盘面的分解结果，且该分解使得所有标记（含有点、边与面的三元组）都能在对称性上任意地变换为其他标记。举例来说，立方体对应的图结构是一个正则地区图，因为立方体对应的球面镶嵌（英语：Spherical tiling）可以透过将球面分解为由6个正方形组成的拓朴盘面，且构成该6个正方形的顶点、边和面（前三者的组合为立方体的标记）可以在立方体的对称性上任意地变换为其他标记，换句话说，这些顶点、边和面在特定轴上旋转90度可以重和一次。

某种意义上来说，正则地区图也可以视为柏拉图立体的概念在拓朴学上的一种推广。地区图理论及其分类与黎曼曲面理论、双曲几何理论和伽罗瓦理论有关。

正则地区图的定义和研究通常会透过拓朴、群论和图论的三种方式进行。

在拓朴学中，地区图（map）是封闭且紧凑之2-流形的2-胞复形分解。其亏格可以用欧拉示性数导出${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(M)=|V|-<!--\; -\; -->|E|+|F|}$₀, ₁, ₂，并满足(r₀r₂)2= I。在这个定义下，面为 = r₀, ₁>的轨道、边为 = <₀, ₂>的轨道、顶点为 = <₁, ₂>的轨道。更抽象地，任何正则地区图的自同构群都是 <2,m,n>-三角群的非退化同构图。

在图论中，地区图是一种立方图，其可以表示为以三种颜色染色的着色图（下文以红、黄、蓝三种颜色表示之），是一种连通图，且每个顶点都与所有颜色的边相接，非黄色的边出现周期为4。另外，这种图也是一种定义于顶点集合或标记集合${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$,。同理，若与正三角形镶嵌（施莱夫利符号：{3,6}）或其对偶正六边形镶嵌（施莱夫利符号：{6,3}）的正则地区图则可以计为{3,6}_,与{6,3}_,，其中b与c皆为整数。

形式为{4,4}_,0的正则地区图可以对应到形式为{4,4 | }的扭歪正多面体，其代表每个面都是正方形，且每个顶点都是4个正方形的公共顶点，并形成m边形孔洞的几何结构。其可以由四维m角柱体柱的面建构。

下图为{4,4}_8,0从平面棋盘就构为环面的一个例子。这个例子可以不透过四维几何结构完成建构。