卡罗需－库恩－塔克条件

在数学中，卡罗需-库恩-塔克条件（英文原名：Karush-Kuhn-TuckerConditions常见别名：Kuhn-Tucker，KKT条件，Karush-Kuhn-Tucker最优化条件，Karush-Kuhn-Tucker条件，Kuhn-Tucker最优化条件，Kuhn-Tucker条件）是在满足一些有规则的条件下，一个非线性规划（Nonlinear Programming）问题能有最优化解法的一个必要条件。这是一个广义化拉格朗日乘数的成果。

考虑以下非线式最优化问题：

${\displaystyle f(x)}$是需要最小化的函数，${\displaystyle g_i(x)(i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m)}$是不等式约束，${\displaystyle h_j(x)(j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,l)}$是等式约束，${\displaystyle m}$和${\displaystyle l}$分别为不等式约束和等式约束的数量。

不等式约束问题的必要和充分条件初见于卡罗需（William Karush）的硕士论文，之后在一份由W.库恩（Harold W. Kuhn）及塔克（Albert W. Tucker）撰写的研讨生论文出现后受到重视。

假设有目标函数，即是要被最小化的函数${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$，约束函数${\displaystyle g_i:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$及${\displaystyle h_j:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$。再者，假设他们都是于${\displaystyle x^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$这点是连续可微的，如果${\displaystyle x^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$是一局部极小值，那么将会存在一组所谓乘子的常数${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0}$, ${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i\ge <!--\; \ge \; -->0(i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m)}$及${\displaystyle {\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_j(j=1,...,l)}$令到

于上述必要和充分条件中，dual multiplier ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$可能是零。当${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$是零时，这个情况就是退化的或反常的。因此必要和充分条件会将约束的几何特性而不是将函数自身的特点纳入计算。

有一定数量的正则性条件能保证解法不是退化的（即${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->0}$），它们包括：

虽然MFCQ不等同于CRCQ，但可证出LICQ=>MFCQ=>CPLD，LICQ=>CRCQ=>CPLD。于实际情况下，较弱的约束规范会被倾向使用，这是因为较弱的约束规范能提供较强的最优化条件。

假设目标函数${\displaystyle f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$及约束函数${\displaystyle g_i:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$皆为凸函数，而${\displaystyle h_j:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$是一仿射函数，假设有一可行点${\displaystyle x^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$，如果有常数${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i\ge <!--\; \ge \; -->0(i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m)}$及${\displaystyle {\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_j(j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,l)}$令到

那么${\displaystyle x^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$这点是一全局极小值。