额外维度

物理学中，卡鲁扎-克莱因理论（Kaluza–Klein theory，有时简称为KK theory） 是一个试图统一重力与电磁两大基本力的理论模型。此理论最初由数学家西奥多·卡鲁扎于1921年所发表。他将广义相对论推广到五维的时空。 所得方程式可以分成好几组方程式，其中一个与等价于爱因斯坦场方程式，另外一组方程式则等价于描述电磁场的马克士威方程组。 此外，还多出一个标量场——五维度规张量之分量 g 55 {displaystyle g_{55}} ，其对应粒子称之为“辐子（暂译）”（radion）。将五维时空分开成四维的爱因斯坦方程式以及麦克斯韦方程组是首先由古纳尔·诺德斯特诺姆于1914年所发现，出现在他的重力理论内文中，但随后就被世人遗忘。在1926年，奥斯卡·克莱因（Oskar Klein）提议了第四个空间维度卷曲成一个半径非常小的圆，所以粒子沿着这个轴移动很短的距离，就会回到起始点。粒子在回到起始点前所能行进的距离则称作是该维度的大小。这个额外维度（extra dimension）是一个紧集，而时空具有紧致维度的现象则称作是紧化。现代几何学中，额外的第五维度可以被理解为圆群U(1)，而基本上，电磁学可以用在纤维丛上规范群U（1）的规范场论来诠释。一旦这样的几何诠释能被理解，则将U（1）换成广义的李群就显得容易而直观。这样的推广常称作是杨-米尔斯理论。若要提到两者的差异，则可说杨–米尔斯理论是在平坦时空的场合处理，而卡鲁扎-克莱因理论则是在更具一般性的弯曲时空中处理。卡鲁扎-克莱因理论的底空间不一定是四维时空，而可以是任何的（伪）黎曼流形，或者甚至是超对称流形、轨形或非交换空间。卡鲁扎-克莱因理论的一个特别的变形是所谓的时间-空间-物质理论（space-time-matter theory）或称引生物质理论（induced matter theory），主要是由Paul Wesson及其他人所推广，他们组成所谓的Space-Time-Matter Consortium。在这理论版本中，值得注意的是下面方程式所得的解：其中 R A B {displaystyle R_{AB}} 是五维里奇曲率，也可以在四维中重新表述，这样的解满足爱因斯坦方程式：其中 T μ ν {displaystyle T_{mu nu }} 的精准形式来自于五维空间中的里奇平坦条件（Ricci-flat condition）。既然能量-动量张量 T μ ν {displaystyle T_{mu nu }} 常被了解为四维空间中的物质密度，上面的结果则被诠释成：四维物质是引生自五维空间中的几何。特别是 R A B = 0 {displaystyle R_{AB}=0} 的孤立子（soliton）解可被展示：其包含了辐射主导形式（早期宇宙）与物质主导形式（晚期宇宙）中的罗伯逊-沃尔克度规（Robertson-Walker metric）。一般方程式则可被展示与古典范畴的重力理论测试相符，在物理学原则上可以被接受，而其仍留有相当多的自由度可提供一些有趣的宇宙学模型。