马蒂厄方程

马蒂厄方程式是一种有周期系数的线性二阶微分方程。 这位法国数学家埃米尔·伦纳德马蒂厄于1868年在他的"椭圆模振动纪录"中第一次提到这种微分方程式，也就是现在所说的马蒂厄方程式。"马蒂厄方程式可以适应很广大变动的物理现象，像是衍射、振幅失真、倒立摆、漂浮物体的稳定性、射频四极和振动"

椭圆柱小波是一种广泛的小波系统。其特点在于可使用多分辨率分析。细节滤波器和平滑滤波器的振幅对应到奇数特征指数的第一种马蒂厄函数，透过选择特征指数可以很容易的设计这些滤波器的凹陷处数目。透过此方法得到的椭圆柱小波会因为它的对称性有可能应用在光学和电磁学的领域中。

马蒂厄方程式跟椭圆柱的波方程式很有关联。在1868年，这位法国数学家埃米尔·伦纳德马蒂厄提到这种微分方程式，也就是现在所说的马蒂厄方程式。

给定一个${\displaystyle a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},q\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$ = 0，就成为有名的谐振子，是频率的平方。

马蒂厄方程式的解是椭圆柱谐波，也就是马蒂厄函数。它们被用在巨观下有椭圆几何的波导问题很长一段时间，其中包含：

一般来说，马蒂厄方程式的解没有周期性。然而，在给定一个的情况下，对的无限多个特征值而言周期性的解确实存在，在一些有物理意义的解中必须为周期性且周期为${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$对应到任何特征值${\displaystyle a=a_r(q)}$ 和 分别为余弦椭圆函数和正弦椭圆函数的缩写。

若的周期是${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$就要为偶数。若的周期是${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$就要为奇数。

给定一个的情况下，可以把${\displaystyle A_{r,m}}$影响。

母小波和缩放函数分别被写成 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)}$的值被调整为该情况的特征值，导出一个周期性的解，这些解显示在${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->|\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}|\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$为奇数。

这也直接显示${\displaystyle h_{-<!--\; -\; -->l}=h_{|l|-<!--\; -\; -->1}}$ 和 的设定，一些波形可能形成有点不寻常的形状。