算术-几何

两个正实数x和y的算术-几何平均数定义如下：首先计算x的y算术平均数，称其为a1。然后计算x的y几何平均数，称其为g1；这是xy的算术平方根。然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列(an)和(gn)：这两个数列收敛于相同的数，这个数称为x和y的算术-几何平均数，记为M(x, y)，或agm(x, y)。欲计算a0 = 24和g0 = 6的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：然后进行迭代：继续计算，可得出以下的值：24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。M(x, y)是一个介于x和y的算术平均数和几何平均数之间的数。如果r > 0，则M(rx, ry) = r M(x, y)。M(x,y)还可以写为如下形式：其中K(x)是第一类完全椭圆积分。1和 2 {displaystyle {sqrt {2}}} 的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。由算术几何不等式可得因此这意味着 { g n } {displaystyle {g_{n}}} 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（ x , y {displaystyle x,y} 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 g {displaystyle g} 使得:然而，我们又有:从而:证毕。该证明由高斯首次提出。 令将积分变量替换为 θ ′ {displaystyle theta '} , 其中于是可得因此，我们有最后一个等式可由 I ( z , z ) = π / ( 2 z ) {displaystyle I(z,z)=pi /(2z)} 推出。于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：