模糊集

模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。给定一个论域 U {displaystyle U} ，那么从 U {displaystyle U} 到单位区间 [ 0 , 1 ] {displaystyle } 的一个映射 μ A : U ↦ [ 0 , 1 ] {displaystyle mu _{A}:Umapsto } 称为 U {displaystyle U} 上的一个模糊集，或 U {displaystyle U} 的一个模糊子集，模糊集可以记为 A {displaystyle A} 。映射（函数） μ A ( ⋅ ) {displaystyle mu _{A}(cdot )} 或简记为 A ( ⋅ ) {displaystyle A(cdot )} 叫做模糊集 A {displaystyle A} 的隶属函数。 对于每个 x ∈ U {displaystyle xin U} ， μ A ( x ) {displaystyle mu _{A}(x)} 叫做元素 x {displaystyle x} 对模糊集 A {displaystyle A} 的隶属度。模糊集的常用表示法有下述几种：和传统的集合一样，模糊集也有它的元素，但可以谈论每个元素属于该模糊集的程度，其从低至高一般用 0 到 1 之间的数来表示。模糊集理论是由卢菲特·泽德（1965）所引进的，是经典集合论的一种推广。在经典的集合论中，所谓的二分条件规定每个元素只能属于或不属于某个集合（因此模糊集不是集合）；可以说，每个元素对每个集合的归属性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集则拥有一个归属函数（membership function），其值允许取闭区间 [ 0 , 1 ] {displaystyle } （单位区间）中的任何实数，用来表示元素对该集的归属程度。比如设某模糊集 A {displaystyle A} 的归属函数为 M {displaystyle M} ，而 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} 、 c {displaystyle c} 为三个元素；如果 M ( a ) = 1 {displaystyle M(a)=1} ， M ( b ) = 0 {displaystyle M(b)=0} ， M ( c ) = 1 2 {displaystyle M(c)={frac {1}{2}}} ，则可以说 “ a {displaystyle a} 完全属于 A {displaystyle A} ”，“ b {displaystyle b} 完全不属于 A {displaystyle A} ”，“ c {displaystyle c} 对 A {displaystyle A} 的归属度为 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} ”（注意没有说“ c {displaystyle c} 有一半属于 A {displaystyle A} ”，因为尚未规定 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} 的归属度具有什么特殊含义）。作为特例，当归属函数的值只能取 0 或 1 时，就得到了传统集合论常用的指示函数（indicator function）。传统集合在模糊集理论中通常称作“明确集”（crisp set）。设 A {displaystyle A} 为 U {displaystyle U} 上的模糊集（记作 A ∈ F ( U ) {displaystyle Ain {mathcal {F}}(U)} ），任取 λ ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle lambda in } ，则称 A λ {displaystyle A_{lambda }} 为 A {displaystyle A} 的 λ {displaystyle lambda } 截集，而 λ {displaystyle lambda } 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ {displaystyle geq } 替换为 > {displaystyle >} ，记为 A S λ {displaystyle A_{Slambda }} ，称为强截集。截集和强截集都是经典集合。此外，显然 A 1 {displaystyle A_{1}} 为 A {displaystyle A} 的核，即 ker ⁡ A {displaystyle ker A} ；如果 ker ⁡ A ≠ ∅ {displaystyle ker Aneq varnothing } ，则称 A {displaystyle A} 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。截积是数与模糊集的积： 设 λ ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle lambda in } ， A ∈ F ( U ) {displaystyle Ain F(U)} ，则 ∀ u ∈ U {displaystyle forall uin U} ， λ {displaystyle lambda } 与 A {displaystyle A} 的截积（或称为 λ {displaystyle lambda } 截集的数乘，记为 λ A {displaystyle lambda A} ）定义为：根据定义，截积仍是 U {displaystyle U} 上的模糊集合。分解定理： 设 A ∈ F ( U ) {displaystyle Ain F(U)} ，则即任一模糊集 A {displaystyle A} 都可以表达为一族简单模糊集 { λ a λ } {displaystyle left{lambda a_{lambda }right}} 的并。也即，一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。表现定理： 设 H {displaystyle H} 为 U {displaystyle U} 上的任何一个集合套，则是 U {displaystyle U} 上的一个模糊集，且 ∀ λ ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle forall lambda in } ，有 （1） A S λ = ∪ α > λ H ( α ) {displaystyle A_{Slambda }=cup _{alpha >lambda }H(alpha )} （2） A λ = ∩ α < λ H ( α ) {displaystyle A_{lambda }=cap _{alpha <lambda }H(alpha )} 即任一集合套都能拼成一个模糊集。一个模糊集 A {displaystyle A} 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：设映射 D : F ( U ) → [ 0 , 1 ] {displaystyle D:F(U)rightarrow } 满足下述5条性质：则称 D {displaystyle D} 是定义在 F ( U ) {displaystyle F(U)} 上的模糊度函数，而 D ( A ) {displaystyle D(A)} 为模糊集 A {displaystyle A} 的模糊度。可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是 D p ( A ) = 2 n 1 / p ( ∑ i = 1 n | A ( u i ) − A 0.5 ( u i ) | p ) 1 / p D ( A ) = ∫ − ∞ + ∞ | A ( u ) − A 0.5 ( u ) | d u {displaystyle {begin{aligned}D_{p}(A)&={frac {2}{n^{1/p}}}left(sum limits _{i=1}^{n}left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})right|^{p}right)^{1/p}\D(A)&=int _{-infty }^{+infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{mbox{d}}uend{aligned}}} 其中 p > 0 {displaystyle p>0} 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 {displaystyle p=1} 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 {displaystyle p=2} 的时候称为 Euclid 模糊度。B {displaystyle {mathfrak {B}}} 是舆集 X {displaystyle mathrm {X} } 的一种。用 g {displaystyle g} 函数定义 B {displaystyle {mathfrak {B}}} ，包含下列3项特性称为模糊测度:① g ( 0 ) = 0 , g ( X ) = 1 {displaystyle g(0)=0,g(mathrm {X} )=1}--- g {displaystyle g} 函数代0值，表示没有值为空值，用数学0来表示。 g {displaystyle g} 函数代 X {displaystyle X} 表示舆集全部带进去了塞满了，用1表示塞满。②若 A , B ∈ B {displaystyle A,Bin {mathfrak {B}}} 和 A ⊆ B {displaystyle Asubseteq B} , 则 g ( A ) ≤ g ( B ) {displaystyle g(A)leq g(B)} .--- A , B {displaystyle A,B} 是属于 B {displaystyle {mathfrak {B}}} 的一部分， A {displaystyle A} 在 B {displaystyle B} 里面也可能跟 B {displaystyle B} 一样大，则 g ( A ) ≤ g ( B ) {displaystyle g(A)leq g(B)}③If A n {displaystyle A_{n}} ∈ B {displaystyle {mathfrak {B}}} , A 1 {displaystyle A_{1}} ⊆ A 2 {displaystyle A_{2}} ⊆…,then lim n → ∞ g ( A n ) = g ( lim n → ∞ A n ) {displaystyle lim _{nto infty }g(A_{n})=g(lim _{nto infty }A_{n})}---当 A n {displaystyle A_{n}} 属于 B {displaystyle {mathfrak {B}}} 同时 A 1 {displaystyle A_{1}} 包含于 A 2 ⊆ … {displaystyle A_{2}subseteq ldots } ，则将 A n {displaystyle A_{n}} 代入 g {displaystyle g} 函数趋小所得的值等同于先趋小 A n {displaystyle A_{n}} 再代入 g {displaystyle g} 函数所求得的值。a ∨ b = max { a , b } a ∧ b = min { a , b } {displaystyle {begin{aligned}avee b&=max{a,b}\awedge b&=min{a,b}end{aligned}}}a + ∧ b = a + b − a b a ⋅ b = a b {displaystyle {begin{aligned}a{stackrel {wedge }{+}}b&=a+b-ab\acdot b&=abend{aligned}}}a ⊕ b = min { 1 , a + b } a ⊙ b = max { 0 , a + b − 1 } {displaystyle {begin{aligned}aoplus b&=min{1,a+b}\aodot b&=max{0,a+b-1}end{aligned}}}a ϵ + b = a + b 1 + a b a ϵ ⋅ b = a b 1 + ( 1 − a ) ( 1 − b ) {displaystyle {begin{aligned}a{stackrel {+}{epsilon }}b&={frac {a+b}{1+ab}}\a{stackrel {cdot }{epsilon }}b&={frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}end{aligned}}}a ν + b = a + b − a b − ( 1 − ν ) a b ν + ( 1 − ν ) ( 1 − a b ) a ν ⋅ b = a b ν + ( 1 − ν ) ( a + b − a b ) {displaystyle {begin{aligned}a{stackrel {+}{nu }}b&={frac {a+b-ab-(1-nu )ab}{nu +(1-nu )(1-ab)}}\a{stackrel {cdot }{nu }}b&={frac {ab}{nu +(1-nu )(a+b-ab)}}end{aligned}}}a Y p b = min { 1 , ( a p + b p ) 1 / p } a y p b = 1 − min { 1 , [ ( 1 − a ) p + ( 1 − b ) p ] 1 / p } {displaystyle {begin{aligned}a;Y_{p};b&=min{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}}\a;y_{p};b&=1-min{1,^{1/p}}end{aligned}}}a λ b = λ a b + ( 1 − λ ) ( a + b − a b ) a γ b = ( a b ) 1 − γ ( a − a b ) γ {displaystyle {begin{aligned}a;lambda ;b&=lambda ab+(1-lambda )(a+b-ab)\a;gamma ;b&=(ab)^{1-gamma }(a-ab)^{gamma }end{aligned}}}a ∨ d b = a + b − a b − min { ( 1 − λ ) , a , b } max { λ , 1 − a , 1 − b } a ∧ d b = a b max { λ , a , b } {displaystyle {begin{aligned}avee _{d}b&={frac {a+b-ab-min{(1-lambda ),a,b}}{max{lambda ,1-a,1-b}}}\awedge _{d}b&={frac {ab}{max{lambda ,a,b}}}end{aligned}}}参见集合代数和布尔代数。主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：线性补偿是指： ( ∀ x , y , k ∈ [ 0 , 1 ] ) ( x + k ∧ y − k   ⇒   U ( x + k , y − k ) = U ( x , y ) ) {displaystyle (forall x,y,kin )(x+kwedge y-k Rightarrow U(x+k,y-k)=U(x,y))}可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F ( U ) {displaystyle F(U)} 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [ 0 , 1 ] {displaystyle } 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。