子群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

假设${\displaystyle (G,\ast <!--\; \ast \; -->)}$的限制也是个在上的群运算，则称为的子群。

一个群的纯子群是指一个子群，其为的纯子集(即 ≠ )。任一个群总会有两个子群(为只包含单位元的子群，{})以及。若为的子群，则有时会被称为的“母群”。

相同的定义可以应用在更广义的范围内，当为一任意的半群，但此一条目中只处理群的子群而已。群有时会被标记成有序对(,*)，通常用以强调其运算*当带有多重的代数或其他结构。

在下面的文章中，会使用省略掉*的常规，并将乘积*写成。

给定一个群${\displaystyle (G,\ast <!--\; \ast \; -->)}$和内的某一元素，则可定义出一个左陪集 ={;∈}。因为为可逆的，由φ() = 给出之映射φ : → 为一个双射。更甚地，每一个内的元素都包含在恰好一个的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系₁ ~ ₂当且仅当₁−1₂会在内。的左陪集之数目称之为在内的“指数”，并标记为。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群和一个子群而言，

其中o()和o()分别为和的阶。特别地是，每一个的子群的阶(和每一个内元素的阶)都必须为o()的约数。右陪集为相类比之定义： = { : ∈}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于。

若对于每个在内的，=，则称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。