子群

✍ dations ◷ 2025-04-02 11:18:06 #群论,子群性质

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G2 F4E6 E7E8
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

假设 ( G , ) {\displaystyle (G,*)} 的限制也是个在上的群运算,则称为的子群。

一个群的纯子群是指一个子群,其为的纯子集(即 ≠ )。任一个群总会有两个子群(为只包含单位元的子群,{})以及。若为的子群,则有时会被称为的“母群”。

相同的定义可以应用在更广义的范围内,当为一任意的半群,但此一条目中只处理群的子群而已。群有时会被标记成有序对(,*),通常用以强调其运算*当带有多重的代数或其他结构。

在下面的文章中,会使用省略掉*的常规,并将乘积*写成。

给定一个群 ( G , ) {\displaystyle (G,*)} 和内的某一元素,则可定义出一个左陪集 ={;∈}。因为为可逆的,由φ() = 给出之映射φ : → 为一个双射。更甚地,每一个内的元素都包含在恰好一个的左陪集中;其左陪集为对应于一等价关系的等价类,其等价关系1 ~ 2当且仅当1−12会在内。的左陪集之数目称之为在内的“指数”,并标记为。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群和一个子群而言,

其中o()和o()分别为和的阶。特别地是,每一个的子群的阶(和每一个内元素的阶)都必须为o()的约数。右陪集为相类比之定义: = { : ∈}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类,且其个数亦会相等于。

若对于每个在内的,=,则称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的:左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

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