哈尔小波

哈尔小波转换是小波转换(Wavelet transform)中最简单的一种转换，也是最早提出的小波转换。
其对应的缩放方程式(scaling function)可表示为：

其滤波器(filter)h被定义为
h = :
当 n = 0 与 n = 1 时，有两个非零系数，因此，我们可以将它写成

哈尔小波的母小波(mother wavelet)可表示为：

在所有正交性(orthonormal)小波转换中哈尔小波转换(Haar wavelet)是最简单的一种转换，但它并不适合用于较为平滑的函数,因为它只有一个消失矩(Vanishing Moment)。

由图示可知：

(1):

${\displaystyle \Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2t)dt=0}$

(2):

${\displaystyle \Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t-<!--\; -\; -->1)dt=0}$

scaling function

哈尔小波具有如下的特性：

(1)任何 function 都可以由 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t),\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t),\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(4t),\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2^{k}t)}$以及它们的位移所组成。

(2)任何平均为 0 的function 都可以由 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2t),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(4t),\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2^{k}t)}$所组成，也就是，任何 function 都可以由 常数, ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2t),\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(4t),\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2^{k}t)}$所组成。

(3)正交性(Orthogonal)${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{2}^m\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2^{m_1}t-<!--\; -\; -->n_1)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2^{m}t-<!--\; -\; -->n)dt=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(m,m_1)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n,n_1)}$

(4)不同宽度的(也就是不同 m) 的wavelet/scaling functions之间会有一个关系

 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t)+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t-<!--\; -\; -->1)}$

${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t-<!--\; -\; -->n)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t-<!--\; -\; -->2n)+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t-<!--\; -\; -->2n-<!--\; -\; -->1)}$${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2^{m}t-<!--\; -\; -->n)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2^{m+1}t-<!--\; -\; -->2n)+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2^{m+1}t-<!--\; -\; -->2n-<!--\; -\; -->1)}$

 ${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t)-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t-<!--\; -\; -->1)}$

${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t-<!--\; -\; -->n)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t-<!--\; -\; -->n)-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2t-<!--\; -\; -->2n-<!--\; -\; -->1)}$${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2^{m}t-<!--\; -\; -->n)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2^{m+1}t-<!--\; -\; -->n)-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2^{m+1}t-<!--\; -\; -->2n-<!--\; -\; -->1)}$

(5)可以用 m+1的 系数来计算 m 的系数

若${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_w(n,m)=2^{m/2}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x(t)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(2^{m}t-<!--\; -\; -->n)dt}$

若${\displaystyle {\mathrm{X}}_w(n,m)=2^{m/2}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x(t)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2^{m}t-<!--\; -\; -->n)dt}$

图示如下：

为多重解析结构(multiresolution analysis )