测地曲率

测地曲率：设P是曲线（C）上一点，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$
在有些书籍还会沿用旧式的 {
}符号注记。由于克式符号属曲面的内蕴性质，而上述测地曲率一般公式只和克式符号与曲面第一基本形式有关，因此，测地曲率必然是属曲面的内蕴几何量。

今若曲线${\displaystyle C}$是沿着${\displaystyle u=(s)}$座标线的话，此时${\displaystyle v=}$常数，使得${\displaystyle dv/ds=0}$以及${\displaystyle du/ds=1/\sqrt{g_{11}}}$，那么其测地曲率可算得为：

${\displaystyle (k_g{)}_{u-<!--\; -\; -->line}={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{11}^2{\displaystyle \frac{\sqrt{EG-<!--\; -\; -->F^2}}{E\sqrt{E}}}={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{11}^2\left({\displaystyle \frac{g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}}\right)}$

同理，假如曲线${\displaystyle C}$是沿着${\displaystyle v=(s)}$座标线的话，使得${\displaystyle u=}$常数，因此${\displaystyle du/ds=0}$以及${\displaystyle dv/ds=1/\sqrt{g_{22}}}$，那么其测地曲率可化简为：

${\displaystyle (k_g{)}_{v-<!--\; -\; -->line}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{22}^1{\displaystyle \frac{\sqrt{EG-<!--\; -\; -->F^2}}{G\sqrt{G}}}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{22}^1\left({\displaystyle \frac{g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}}\right)}$

令${\displaystyle C}$为曲面S上的一正则曲线，在此曲线上以其弧长${\displaystyle s}$为参数，则曲线${\displaystyle C}$的参数方程式为${\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}$，今其参数化是采正交座标系，换言之，第一基本形式的系数${\displaystyle F=0}$，又令曲线${\displaystyle C}$在P点与${\displaystyle u}$座标线的夹角为${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$，则它在P点的测地曲率${\displaystyle k_g}$可表为下列与${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(s)}$夹角相关的Liouville公式：

上述公式中的${\displaystyle (k_g{)}_{u-<!--\; -\; -->line}}$与${\displaystyle (k_g{)}_{v-<!--\; -\; -->line}}$乃分属于两个座标线对应的测地曲率，至于它们的具体表征是什么，接下来将分别推导出其详细内容。首先，考量如若曲线${\displaystyle C}$是沿着${\displaystyle u=(s)}$座标线的话，此时${\displaystyle v=}$常数，则有${\displaystyle dv/ds=0}$以及${\displaystyle du/ds=1/\sqrt{E}}$，那么该测地曲率可算得为：

${\displaystyle (k_g{)}_{u-<!--\; -\; -->line}=-<!--\; -\; -->{\displaystyle \frac{E_v}{2E\sqrt{G}}}}$

同理，假如曲线${\displaystyle C}$是沿着${\displaystyle v=(s)}$座标线的话，此时${\displaystyle u=}$常数，导致${\displaystyle du/ds=0}$以及${\displaystyle dv/ds=1/\sqrt{G}}$，那么此测地曲率可算得为：

${\displaystyle (k_g{)}_{v-<!--\; -\; -->line}={\displaystyle \frac{G_u}{2G\sqrt{E}}}}$

以上测地曲率之Liouville公式就已列出有三种，若觉得怎么会有这么多样形式，其实还有其他变形，例如可参考网络上更加精简且优美的形式，这端赖解析问题时，需要配套什么形式的公式而定。