调和数

调和数可以指跟约数和有关的整数欧尔调和数。在数学上，第n个调和数是首n个正整数的倒数和，即

${\displaystyle H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k}}$

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的${\displaystyle n}$倍。它可以推广到正整数的倒数的幂之和，即${\displaystyle H_n^{(m)}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k^m}}$。

根据定义，调和数满足递推关系

${\displaystyle H_{n+1}=H_n+\frac{1}{n+1}}$

它也满足恒等式

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{H}_k=(n+1)H_n-<!--\; -\; -->n}$

对于第n项调和数，有以下公式

${\displaystyle H_n={\int <!--\; \int \; -->}_0^1\frac{1-<!--\; -\; -->x^n}{1-<!--\; -\; -->x}dx.}$

设:${\displaystyle x=1-<!--\; -\; -->u}$，由此得到

对于调和数${\displaystyle H_n}$，当n不是太大时，可以直接计算。

当n特别大时，可以进行估算。

因为${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k}-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->n\right)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$，

其中${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->0.5772156649}$称为欧拉-马斯刻若尼常数，

由此得到

${\displaystyle H_n\sim <!--\; \sim \; -->\ln <!--\; \; -->n+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$

当n越大时，估算越精确。

更精确的估算是

${\displaystyle H_n\sim <!--\; \sim \; -->\ln <!--\; \; -->n+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\frac{1}{2n}-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}=\ln <!--\; \; -->n+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\frac{1}{2n}-<!--\; -\; -->\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->,}$

其中${\displaystyle B_k}$是第k项伯努利数。

广义调和数满足

${\displaystyle H_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\int <!--\; \int \; -->}_0^1\frac{1-<!--\; -\; -->x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{1-<!--\; -\; -->x}dx.}$

由此，我们得到

对于任意两个正整数p和q，并且p＜q，我们有

对于每一个大于0的x，有

${\displaystyle H_x=x\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k(x+k)}.}$

由此，得

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_0^1{H}_{x}dx=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},}$

对于每一个n，有

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_0^n{H}_{x}dx=\ln <!--\; \; -->(n!)+n\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}.}$

根据定义，其他类似于调和数的数列有以下计算方法：

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k}=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(n-<!--\; -\; -->1)+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2}+\ln <!--\; \; -->2}$

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2k}=\frac{H_n}{2}}$