商环

环同态

代数结构

相关结构

代数数论

P进数

代数几何

非交换代数几何（英语：Noncommutative algebraic geometry）

自由代数（英语：Free algebra）

克利福德代数

在环论中，商环（或称剩余类环）是环对一个理想的商结构。

设${\displaystyle R}$，${\displaystyle I\subset <!--\; \subset \; -->R}$。定义下述等价关系

令${\displaystyle R/I}$为其等价类的集合，其中的元素记作${\displaystyle a+I}$，其中${\displaystyle a}$是该元素在${\displaystyle R}$上任一代表元。我们可以在${\displaystyle R/I}$上定义环结构：

以上运算是明确定义的（在第二式中须用到${\displaystyle I}$是双边理想）。集合${\displaystyle R/I}$配合上述运算称作${\displaystyle R}$对${\displaystyle I}$的商环。根据定义，商映射${\displaystyle R\to <!--\; \to \; -->R/I,a\mapsto <!--\; \mapsto \; -->a+I}$是满的环同态，${\displaystyle I}$为此同态的核。

如果${\displaystyle R}$含单位元${\displaystyle 1}$，则${\displaystyle 1+I}$是${\displaystyle R/I}$的单位元。

注：若条件弱化为${\displaystyle I}$是左（或右）理想，上述两式仍可赋予集合${\displaystyle R/I}$左（或右）${\displaystyle R}$-模结构。

商环由下述泛性质唯一决定（至多差一个同构）：

事实上，若更设${\displaystyle \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=(0)}$，则${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}:R/I\to <!--\; \to \; -->S}$是单射。准此，${\displaystyle R}$的同态像无非是${\displaystyle R}$的商环。

理想的性质常与其商环相关，例如当${\displaystyle R}$是交换含幺环时，${\displaystyle I}$是素理想（或极大理想）当且仅当${\displaystyle R/I}$是整环（或域）；${\displaystyle R}$中包含${\displaystyle I}$的理想一一对应于${\displaystyle R/I}$中的所有理想，此对应由商映射的逆像给出。