开集

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:21:29 #点集拓扑学

在数学上，特别是拓朴学中，开集是一个将实数上的开区间的概念进行抽象化后的一个抽象对象。一个简单的例子便是在 ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ 中点集是开集，如果在这个集合的所有点都是内部点。

${displaystyle n}$ 是开集，如果给定任何中的点 ${displaystyle x}$ 也属于。

等价的说:如果所有中的点有包含在中的邻域，是开集。

这推广了欧几里得空间的例子，因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

在拓扑空间中，开集是一项基础性的概念。你可以从任意集合 ${displaystyle X}$ 的某个特定的子集族 ${displaystyle tau }$ 上的“拓朴”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 ${displaystyle (X,T)}$ 的每个子集都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做的内部。它可以通过取包含在中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间和，从到的函数是连续的，如果在中的所有开集的前像是在中的开集。映射被叫做开映射，如果在中的所有开集的像是中的开集。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

邻域 · 内部 · 边界 · 外部 · 极限点 · 孤点

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