开集

✍ dations ◷ 2025-04-02 19:09:27 #点集拓扑学

在数学上,特别是拓朴学中,开集是一个将实数上的开区间的概念进行抽象化后的一个抽象对象。一个简单的例子便是在 R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} 中点集是开集,如果在这个集合的所有点都是内部点。

n {displaystyle n} 是开集,如果给定任何中的点 x {displaystyle x} 也属于。

等价的说:如果所有中的点有包含在中的邻域,是开集。

这推广了欧几里得空间的例子,因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。

在拓扑空间中,开集是一项基础性的概念。你可以从任意集合 X {displaystyle X} 的某个特定的子集族 τ {displaystyle tau } 上的“拓朴”,而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 ( X , T ) {displaystyle (X,T)} 的每个子集都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做的内部。它可以通过取包含在中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间和,从到的函数是连续的,如果在中的所有开集的前像是在中的开集。映射被叫做开映射,如果在中的所有开集的像是中的开集。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

邻域  · 内部  · 边界  · 外部  · 极限点  · 孤点

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