常微分方程

在数学分析中，常微分方程（英语：ordinary differential equation，简称ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 s {displaystyle s} 和时间 t {displaystyle t} 的关系就可以表示为如下常微分方程：其中 m {displaystyle m} 是物体的质量， f ( s ) {displaystyle f(s)} 是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 s {displaystyle s} ，它只以时间 t {displaystyle t} 为自变量。一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。在下表中， P ( x ) , Q ( x ) ; P ( y ) , Q ( y ) {displaystyle P(x),Q(x);P(y),Q(y)} 和 M ( x , y ) , N ( x , y ) {displaystyle M(x,y),N(x,y)} 是任意关于 x , y {displaystyle x,y} 的可积（英语：Integrable）函数， b , c {displaystyle b,c} 是给定的实常数， C , C 1 , C 2 … {displaystyle C,C_{1},C_{2}ldots } 是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。在积分解中， λ {displaystyle lambda } 和 ϵ {displaystyle epsilon } 是积分变量（求和下标的连续形式），记号 ∫ x F ( λ ) d λ {displaystyle int ^{x}F(lambda )dlambda } 只表示 F ( λ ) {displaystyle F(lambda )} 对 λ {displaystyle lambda } 积分，在积分以后 λ = x {displaystyle lambda {}=x} 替换，无需加常数（明确说明）。P 1 ( x ) Q 1 ( y ) + P 2 ( x ) Q 2 ( y ) d y d x = 0 {displaystyle P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y),{frac {dy}{dx}}=0,!}P 1 ( x ) Q 1 ( y ) d x + P 2 ( x ) Q 2 ( y ) d y = 0 {displaystyle P_{1}(x)Q_{1}(y),dx+P_{2}(x)Q_{2}(y),dy=0,!}d y d x = F ( x ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}=F(x),!}d y = F ( x ) d x {displaystyle dy=F(x),dx,!}d y d x = F ( y ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}=F(y),!}d y = F ( y ) d x {displaystyle dy=F(y),dx,!}P ( y ) d y d x + Q ( x ) = 0 {displaystyle P(y){frac {dy}{dx}}+Q(x)=0,!}P ( y ) d y + Q ( x ) d x = 0 {displaystyle P(y),dy+Q(x),dx=0,!}d y d x = F ( y x ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}=Fleft({frac {y}{x}}right),!}y M ( x y ) + x N ( x y ) d y d x = 0 {displaystyle yM(xy)+xN(xy),{frac {dy}{dx}}=0,!}y M ( x y ) d x + x N ( x y ) d y = 0 {displaystyle yM(xy),dx+xN(xy),dy=0,!}ln ⁡ ( C x ) = ∫ x y N ( λ ) d λ λ [ N ( λ ) − M ( λ ) ] {displaystyle ln(Cx)=int ^{xy}{frac {N(lambda ),dlambda }{lambda }},!}如果 N = M {displaystyle N=M} , 解为 x y = C {displaystyle xy=C} .M ( x , y ) d y d x + N ( x , y ) = 0 {displaystyle M(x,y){frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0,!}M ( x , y ) d y + N ( x , y ) d x = 0 {displaystyle M(x,y),dy+N(x,y),dx=0,!}其中 ∂ M ∂ x = ∂ N ∂ y {displaystyle {frac {partial M}{partial x}}={frac {partial N}{partial y}},!}其中 Y ( y ) {displaystyle Y(y)} 和 X ( x ) {displaystyle X(x)} 是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数 F ( x , y ) {displaystyle F(x,y)} 满足初始条件。M ( x , y ) d y d x + N ( x , y ) = 0 {displaystyle M(x,y){frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0,!}M ( x , y ) d y + N ( x , y ) d x = 0 {displaystyle M(x,y),dy+N(x,y),dx=0,!}其中 ∂ M ∂ x ≠ ∂ N ∂ y {displaystyle {frac {partial M}{partial x}}neq {frac {partial N}{partial y}},!}∂ ( μ M ) ∂ x = ∂ ( μ N ) ∂ y {displaystyle {frac {partial (mu M)}{partial x}}={frac {partial (mu N)}{partial y}},!}F ( x , y ) = ∫ y μ ( x , λ ) M ( x , λ ) d λ + ∫ x μ ( λ , y ) N ( λ , y ) d λ + Y ( y ) + X ( x ) = C {displaystyle {begin{aligned}F(x,y)&=int ^{y}mu (x,lambda )M(x,lambda ),dlambda +int ^{x}mu (lambda ,y)N(lambda ,y),dlambda \&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}},!}d 2 y d x 2 = F ( y ) {displaystyle {frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y),!}d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x),!}d 2 y d x 2 + b d y d x + c y = r ( x ) {displaystyle {frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{frac {dy}{dx}}+cy=r(x),!}特解 y p {displaystyle y_{p}} ：一般运用常数变易法（英语：method of variation of parameters），虽然对于非常容易的 r ( x ) {displaystyle r(x)} 可以直观判断。如果 b 2 > 4 c {displaystyle b^{2}>4c} , 则:y c = C 1 e ( − b + b 2 − 4 c ) x 2 + C 2 e − ( b + b 2 − 4 c ) x 2 {displaystyle y_{c}=C_{1}e^{left(-b+{sqrt {b^{2}-4c}}right){frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-left(b+{sqrt {b^{2}-4c}}right){frac {x}{2}}},!}如果 b 2 = 4 c {displaystyle b^{2}=4c} , 则:y c = ( C 1 x + C 2 ) e − b x 2 {displaystyle y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{frac {bx}{2}}},!}如果 b 2 < 4 c {displaystyle b^{2}<4c} , 则:y c = e − b x 2 [ C 1 sin ⁡ ( | b 2 − 4 c | x 2 ) + C 2 cos ⁡ ( | b 2 − 4 c | x 2 ) ] {displaystyle y_{c}=e^{-{frac {bx}{2}}}left,!}∑ j = 0 n b j d j y d x j = r ( x ) {displaystyle sum _{j=0}^{n}b_{j}{frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x),!}特解 y p {displaystyle y_{p}} ：一般运用常数变易法（英语：method of variation of parameters），虽然对于非常容易的 r ( x ) {displaystyle r(x)} 可以直观判断。由于 α j {displaystyle alpha _{j}} 为 n {displaystyle n} 阶多项式的解： ∏ j = 1 n ( α − α j ) = 0 {displaystyle prod _{j=1}^{n}left(alpha -alpha _{j}right)=0,!} ，于是：对于各不相同的 α j {displaystyle alpha _{j}} ，y c = ∑ j = 1 n C j e α j x {displaystyle y_{c}=sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{alpha _{j}x},!}每个根 α j {displaystyle alpha _{j}} 重复 k j {displaystyle k_{j}} 次，y c = ∑ j = 1 n ( ∑ ℓ = 1 k j C ℓ x ℓ − 1 ) e α j x {displaystyle y_{c}=sum _{j=1}^{n}left(sum _{ell =1}^{k_{j}}C_{ell }x^{ell -1}right)e^{alpha _{j}x},!}对于一些复数值的 αj，令 α = χj + iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成的形式，其中 ϕj 为任意常量（相移）。