支出最小化

✍ dations ◷ 2025-06-06 13:29:24 #微观经济学,最优化

支出最小化问题,在经济学,特别是微观经济学中是效用最大化问题的对偶问题,直观地说就是:“需要多少钱我才能让我觉得高兴?” 给定效用函数,价格,和效用目标,这个问题可以分为两部分。

假设消费者有一个定义在 L {\displaystyle L} 种商品 x R + L {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}} 上的效用函数 u {\displaystyle u} 。则该消费者的支出函数给出在给定价格为 p {\displaystyle \mathbf {p} } 的情况下购买一组商品 x {\displaystyle x} ,使得得到的效用 u ( x ) u {\displaystyle u(x)\geq u^{*}} 时所需钱的数额。形式上,支出函数可以这样定义。

这里

表示所得效用至少等于 u {\displaystyle u^{*}} 的组合的集合。

希克斯需求对应 h ( p , u ) {\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})} 定义为一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义马歇尔需求对应,

如果马歇尔需求对应 x ( p , w ) {\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)} 是一个总是给出唯一解的函数,则与之相对应的希克斯需求对应 h ( p , u ) {\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})} 也可以被称为是希克斯需求函数。

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