支出最小化

支出最小化问题，在经济学，特别是微观经济学中是效用最大化问题的对偶问题，直观地说就是：“需要多少钱我才能让我觉得高兴？” 给定效用函数，价格，和效用目标，这个问题可以分为两部分。

假设消费者有一个定义在${\displaystyle L}$种商品${\displaystyle \mathbf{x}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}_{+}^L}$上的效用函数${\displaystyle u}$。则该消费者的支出函数给出在给定价格为${\displaystyle \mathbf{p}}$的情况下购买一组商品${\displaystyle x}$，使得得到的效用${\displaystyle u(x)\ge <!--\; \ge \; -->u^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$时所需钱的数额。形式上，支出函数可以这样定义。

这里

表示所得效用至少等于${\displaystyle u^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$的组合的集合。

希克斯需求对应 ${\displaystyle \mathbf{h}(\mathbf{p},u^{\ast <!--\; \ast \; -->})}$定义为一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义马歇尔需求对应，

如果马歇尔需求对应${\displaystyle \mathbf{x}(\mathbf{p},w)}$是一个总是给出唯一解的函数，则与之相对应的希克斯需求对应${\displaystyle \mathbf{h}(\mathbf{p},u^{\ast <!--\; \ast \; -->})}$ 也可以被称为是希克斯需求函数。