有限几何学

在数学中，有限几何是满足某些几何学公理，但仅含有限个点的几何系统。欧氏几何并非有限，因为它必包含一条欧氏直线，其上的点一一对应于实数。有限几何系统可以依维度分类，为简单起见，以下仅介绍低维度的情形。有限平面几何可以分为仿射与射影两类。在仿射空间中可以探讨线的平行性，射影空间则否。定义. 仿射平面是一个非空集 X {displaystyle X} （其成员称为点）及一族 X {displaystyle X} 的子集 L {displaystyle L} （其成员称为线），使之满足下述条件：最后一条公设保证几何非空，前两条公设确定了几何的性质。最简单的仿射平面由四点构成，其中任两点决定唯一一条线，所以此平面有六条线。这可以设想为四面体的顶点与边。一般而言， n {displaystyle n} 阶仿射平面有 n 2 {displaystyle n^{2}} 个点与 n 2 + n {displaystyle n^{2}+n} 条线；每条线含 n {displaystyle n} 点，每点落于 n + 1 {displaystyle n+1} 条线。定义. 射影平面是一个非空集 X {displaystyle X} （其成员称为点）及一族 X {displaystyle X} 的子集 L {displaystyle L} （其成员称为线），使之满足下述条件：在上述公理中，我们可以交换点及线的角色，这蕴含了射影几何的对偶性：若射影几何的某命题成立，则将命题中的点与线互换后，新命题依然成立。最简单的射影平面称作 Fano 平面，又称二阶射影平面，由七条线及七个点构成。若除去任一直线（及其上之点），将得到二阶仿射平面。一般而言， n {displaystyle n} 阶射影平面的点、线个数均为 n 2 + n + 1 {displaystyle n^{2}+n+1} ，每条线含 n + 1 {displaystyle n+1} 个点，每个点落于 n + 1 {displaystyle n+1} 条线。对任意正整数 n {displaystyle n} ， n {displaystyle n} 阶射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是这种几何存在当且仅当 n {displaystyle n} 是素数幂。若一映射 f : X → X {displaystyle f:Xto X} 保存共线关系，则称之为 X {displaystyle X} 的对称（或自同构）。Fano 平面的对称群同构于 P S L ( 2 , F 7 ) {displaystyle mathrm {PSL} (2,mathbb {F} _{7})} ，有 168 {displaystyle 168} 个元素。