反正切

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:11:55 #反三角函数

反正切(arctangent、 arctan {\displaystyle \arctan } 、arctg、 tan 1 {\displaystyle \tan ^{-1}} )是一种反三角函数,是利用已知直角三角形的对边和邻边这两条直角边的比值求出其夹角大小的函数,是高等数学中的一种基本特殊函数。在三角学中,反正切被定义为一个角度,也就是正切值的反函数,由于正切函数在实数上不具有一一对应的关系,所以不存在反函数,但我们可以限制其定义域,因此,反正切是单射和满射也是可逆的,但不同于反正弦和反余弦,由于限制正切函数的定义域在 {\displaystyle } 时,其值域是全体实数,因此可得到的反函数定义域也是全体实数,而不必再进一步去限制定义域。

由于反正切函数的定义为求已知对边和邻边的角度值,刚好可以视为直角坐标系的x座标与y座标,根据斜率的定义,反正切函数可以用来求出平面上已知斜率的直线与座标轴的夹角。

反正切函数经常记为 tan 1 {\displaystyle \tan ^{-1}} ,在外文文献中常记为 arctan {\displaystyle \arctan } ,在一些旧的教科书中也有人记为arctg,但那是旧的用法,不过根据ISO 31-11标准应将反正切函数记为 arctan {\displaystyle \arctan } ,因为 tan 1 {\displaystyle \tan ^{-1}} 可能会与 1 tan {\displaystyle {\frac {1}{\tan }}} 混淆, 1 tan {\displaystyle {\frac {1}{\tan }}} 是余切函数。

原始的定义是将正切函数限制在 {\displaystyle } 的反函数
在复变分析中,反正切是这样定义的:

这个动作使反正切被推广到复数。

在直角坐标系中,反正切函数可以视为已知平面上直线斜率的倾角

反正切函数可利用泰勒展开式来求得级数的定义反正切函数的泰勒展开式为:

| x | 1 {\displaystyle \left|x\right|\leq 1} x ± i {\displaystyle x\neq \pm i} 时,这是一个收敛的级数,这使得反正切函数被定义在整个实数集上。这个级数也可以用来计算圆周率的近似值,最简单的公式是 x = 1 {\displaystyle x=1} 时的情况,称为莱布尼茨公式

更精确的写法是梅钦类公式

由于反正切函数是一个奇函数,因此满足下面等式:

反正切函数的微分导数为:

在三角函数中,atan2是反正切函数的一个变种,有两个变数,主要是提供给计算机编程语言一个简便的角度计算方式,其定义为:

正弦 · 余弦 · 正切 · 余切 · 正割 · 余割

反正弦 · 反余弦 · 反正切 · 反余切 · 反正割‎ · 反余割

正矢 · 余矢 · cis函数 · 余cis函数 · 半正矢 · 半余矢 · 外正割 · 外余割 · atan2 · 古德曼函数

正弦定理 · 余弦定理 · 正切定理 · 余切定理 · 勾股定理

三角函数恒等式 · 三角函数精确值 · 三角函数积分表 · 三角函数表 · 双曲三角函数 · 双曲三角函数恒等式

相关

  • 阿维森纳阿布·阿里·侯赛因·本·阿卜杜拉·本·哈桑·本·阿里·本·西那(阿拉伯文:أبو علي الحسين بن عبد الله بن الحسن بن علي بن سينا
  • 玛莉·马龙玛丽·马伦(英语:Mary Mallon,1869年9月23日-1938年11月11日),爱尔兰人,1883年独自移民至美国,是美国第一位被发现的伤寒健康带原者,因此被称为伤寒玛丽(Typhoid Mary)。玛丽是一个厨师
  • 麦克斯韦妖麦克斯韦妖(Maxwell's demon),是在物理学中假想的妖,能探测并控制单个分子的运动,于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的。当时麦
  • 布仑斯惕酸酸碱质子理论,又称布仑斯惕-劳里酸碱理论(英语:Brønsted–Lowry acid–base theory),是丹麦化学家约翰内斯·尼古劳斯·布仑斯惕和英国化学家托马斯·马丁·劳里于1923年各自独
  • 突破聆听突破倡议(Breakthrough Initiatives)是一个由俄国科技业富豪尤里·米尔纳于2015年创建的计划,准备在十年内,投资1亿美金,寻找外星生命。 整个计划分为几个项目。突破聆听项目将会
  • 机会成本机会成本(Opportunity Cost, OC)是指决策过程中面临多项选择,当中被放弃而价值最高的选择(Highest-valued Option Forgone),又称为“替代性成本(Alternative Cost)”,就是俗语的“世
  • 空谷阶空谷期(Kungurian),又译作空谷尔期、孔古阶或昆古尔阶,是地质年代二叠纪早期的乌拉尔世(或作乌拉尔统)早期的一个期。空谷尔期在283.5到272.95百万年之间,罗德期(Roadian)之前、亚丁
  • 赤水丹霞地貌坐标:28°24′N 105°48′E / 28.400°N 105.800°E / 28.400; 105.800赤水丹霞地貌是指位于中国贵州省赤水市和习水县境内,主要包括赤水国家级风景名胜区十丈洞景区、赤水桫
  • 单一主神论单一主神论(英语:Henotheism),源自希腊语的“'ἑνας θεός”(henas theos,意为“单一神”),也称单一神教、尊一神论、单一神论、或单一多神论,是指对某单一神的崇拜,且此种崇拜
  • 法国葡萄酒法国葡萄酒是指法国出产的葡萄酒。法国是世界著名的葡萄酒产地,其生产葡萄酒的历史悠久。葡萄在大约公元前1000年到前500年之间在法国南部出现,而后它开始在地中海盆地的大部