实射影平面

在数学中，实射影平面（real projective plane）是R3中所有过原点直线组成的空间，通常记作${\displaystyle \mathbb{R}{P}^2}$作为生成元。

射影平面不能嵌入（这要求没有自交）三维空间，不过可以浸入（局部邻域没有自交点）。伯伊曲面（Boy's surface）是浸入的一个实例。

罗马曲面（Roman surface）是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射，包含一个交叉帽（cross-cap）。同样对具有一个交叉套的球面也成立。

射影平面不能嵌入三维欧几里得空间，可作如下证明：假设可以嵌入，由广义若尔当曲线定理它将在三维欧几里得空间中围出一个紧区域。向外的单位法向量场将给出边界流形的一个定向，但边界流形就是射影平面，它是不可定向的。这是一个矛盾，从而我们所假设的嵌入必定是错误的。

实射影平面的一个多面体半形表示是四面半六面体。

从相反的方向来看，立方体半形、十二面体半形以及二十面体半形、抽象正则多面体（abstract regular polychora），都可以构造成射影平面中的正则图形。

平面中的直线集合可以用齐次坐标表示。直线++=0可以表示为。这些坐标有等价关系，对所有非零， = 。从而相同直线的不同表示++=0有同样的坐标。坐标集合给出了通常实平面，而坐标集合定义了一个无穷远直线。

射影平面可嵌入一个4维欧几里得空间。考虑${\displaystyle \mathbb{R}{P}^2}$是2维球面${\displaystyle S^2=\{(x,y,z)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^3:x^2+y^2+z^2=1\}}$由对径关系${\displaystyle (x,y,z)\sim <!--\; \sim \; -->(-<!--\; -\; -->x,-<!--\; -\; -->y,-<!--\; -\; -->z)}$得到的商。考虑由${\displaystyle (x,y,z)⟼<!--\; ⟼\; -->(xy,xz,y^2-<!--\; -\; -->z^2,2yz)}$给出的函数${\displaystyle {\mathbb{R}}^3\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^4}$。将这个映射限制在区域${\displaystyle S^2}$上，因为它是一个二次多项式，故可分解，给出一个映射${\displaystyle \mathbb{R}{P}^2\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^4}$，并且这个映射是嵌入。注意到这个嵌入有一个到${\displaystyle R^3}$的投影，即罗马曲面。

基本多边形一文提供了高阶亏格实射影平面的一个描述。