凹凸性

✍ dations ◷ 2025-08-10 16:56:52 #凹凸性

在几何学中，一个几何图形可分为凸或凹的。例如多边形和多面体。其中，凸的多边形称为凸多边形、凹的多边形则可称为凹多边形或非凸多边形，多面体与多胞体亦然。然而在三维或更高维度的空间中，不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形，亦可能是星形几何图形，因此在三维或更高维度的空间中较常分为凸与非凸。凸几何图形是指内部为凸集的几何图形，二维空间中的凸几何图形称为凸多边形、三维空间则称凸多面体。若一多胞形的内部为凸集，则称凸多胞形。二维空间中的凸几何图形称为凸多边形，简单多边形的下列性质与其凸性等价：凸几何图形的凸包与其边界相同。凸多边形示例：正五边形凸多面体示例：正十二面体凹几何图形是指内部不是凸集的几何图形，在二维空间中，不是凸集的简单多边形，称为凹多边形（Concave polygon）或凹角。凹多边形至少存在一个内角大于180度。在三维空间中，不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形，亦可能是星形多面体，因此在三维空间中较常分为凸与非凸。凹多边形示例凹多面体示例：凹鹞形柱环形多面体如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度，是严格凸的；如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部，也是严格凸的。所有非退化三角形都是严格凸的。星形几何图形是非凸几何图形的一个特例，其并未有一个明确的定义。在二维空间中，称为星形多边形，数学家Branko Grünbaum指出了两种由克普勒提出的定义：一种是具有自相交棱的正星形多边形，且自相交的棱不产生新的顶点，另一种是边可递的简单凹多边形。星形多边形示例：五角星星形多面体示例：大十二面体

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