区间

在数学上，区间是某个范围的数的搜集，一般以集合形式表示。在初等代数，传统上区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能包含该两个实数（或其中之一）。区间表示法是表示一个变数在某个区间内的方式。通用的区间表示法中，圆括号表示排除，方括号表示包括。例如，开区间 ( 10 , 20 ) {displaystyle (10,20)} 表示所有在 10 {displaystyle 10} 和 20 {displaystyle 20} 之间的实数，但不包括 10 {displaystyle 10} 或 20 {displaystyle 20} 。另一方面，闭区间 [ 10 , 20 ] {displaystyle } 表示所有在 10 {displaystyle 10} 和 20 {displaystyle 20} 之间的实数，以及 10 {displaystyle 10} 和 20 {displaystyle 20} 。区间的定义可以推广到任何全序集 T {displaystyle T} 的子集 S {displaystyle S} ，使得若 x {displaystyle x} 和 y {displaystyle y} 均属于 S {displaystyle S} ，且 x < z < y {displaystyle x<z<y} ，则 z {displaystyle z} 亦属于 S {displaystyle S} 。特别重要的情况是当 T = R {displaystyle T=mathbb {R} } 。R {displaystyle mathbb {R} } 的区间有以下十一种（ a {displaystyle a} 和 b {displaystyle b} 为实数且 a < b {displaystyle a<b} ）：1、5、7称为开区间（因为它们是开集）；2、6、8、10称为闭区间（因为它们是闭集）；3、4称为半开区间、半闭区间或半开半闭区间；而9、11同时为开区间和闭区间，并非半开区间或半闭区间。1、2、3、4、10、11为有界区间；5、6、7、8、9为无界区间；10为单点。区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算，在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。区间算术的基本运算是，对于实数线上的子集 [ a , b ] {displaystyle } 及 [ c , d ] {displaystyle } ：被一个包含零的区间除，在基础区间算术上无定义。加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律：集 X ( Y + Z ) {displaystyle X(Y+Z)} 是 X Y + X Z {displaystyle XY+XZ} 的子集。在法国及其他一些欧洲国家，和国际标准化组织编制的ISO 31-11，用 ] [ {displaystyle ][} 代替 ( ) {displaystyle ()} 来表示开区间，例如：另外，在小数点以逗号来表示的情况下，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替，例如将 [ 1 , 2.3 ] {displaystyle } 写成 [ 1 ; 2 , 3 ] {displaystyle } 。若只把小数点写成逗号，就会变成 [ 1 , 2 , 3 ] {displaystyle } ，此时不易判断究竟是 1.2 {displaystyle 1.2} 与 3 {displaystyle 3} 之间，还是 1 {displaystyle 1} 与 2.3 {displaystyle 2.3} 之间的闭区间。