哈韦尔-哈基米算法

哈韦尔-哈基米算法是一种图论算法，由Havel (1955)与Hakimi (1962)先后发表，解决了可简单图化问题（英语：graph realization problem）。这个问题是指给定一串有限多个非负整数组成的序列，是否存在一个简单图使得其度数列（英语：degree (graph theory)）恰为这个序列。我们称满足条件的序列为可简单图化的。如果一个序列可简单图化，这个算法能够构造一个特解；否则算法指出序列不可简单图化。该算法是一个递归算法。

哈韦尔-哈基米算法基于以下定理。

令${\displaystyle S=(d_1,\dots <!--\; \dots \; -->,d_n)}$为有限多个非负整数组成的非递增序列。${\displaystyle S}$可简单图化当且仅当有穷序列${\displaystyle S^{\prime }=(d_2-<!--\; -\; -->1,d_3-<!--\; -\; -->1,\dots <!--\; \dots \; -->,d_{d_1+1}-<!--\; -\; -->1,d_{d_1+2},\dots <!--\; \dots \; -->,d_n)}$只含有非负整数且是可简单图化的。

如果给定的序列 ${\displaystyle S}$ 是可简单图化的，那么算法最多运行${\displaystyle n-<!--\; -\; -->1}$次赋值${\displaystyle S:=S^{\prime }}$。注意每次赋值后可能需要重新对序列排序。当${\displaystyle S^{\prime }}$全部为零时，算法停止。在每一步中，如果序列可简单图化，就从${\displaystyle v_1}$向${\displaystyle v_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->,v_n}$各引出一条边，即${\displaystyle \{v_1,v_2\},\{v_1,v_3\},\cdots <!--\; \cdots \; -->,\{v_1,v_{d_1+1}\}}$，然后令${\displaystyle S}$约化为${\displaystyle S^{\prime }}$。如果在任何一步中，序列${\displaystyle S}$无法约化为非负整数序列${\displaystyle S^{\prime }}$，算法就给出最开始的${\displaystyle S}$不可简单图化的结论。