双曲函数

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 ${\displaystyle \sinh }$轴对称的偶函数。函数${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->x}$不是圆角而是双曲角，它表示在轴和连接原点和双曲线上的点（${\displaystyle \cosh <!--\; \; -->t}$，在渐近线即x或y轴上需要有的x或y的值。显见这里的底边是${\displaystyle \left(e^u+e^{-<!--\; -\; -->u}\right)\frac{\sqrt{2}}{2}}$是实数而i2 = −1，则

所以双曲函数cosh和sinh可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成cosh函数，后者形成了sinh函数。cos函数的无穷级数可从cosh得出，通过把它变为交错级数，而sin函数可来自将sinh变为交错级数。上面的恒等式使用虚数i，从三角函数的级数的项中去掉交错因子(−1)n，来恢复为指数函数的那两部分级数。

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。

给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角α得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:

与双曲函数有关的恒等式如下:

由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个sinh的积的项（包括${\displaystyle {\coth }^2<!--\; \; -->x,{\tanh }^2<!--\; \; -->x,{\mathrm{csch}}^2<!--\; \; -->x,\sinh <!--\; \; -->x\sinh <!--\; \; -->y}$和cosh 是全纯函数。

指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：

所以:

因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}$ (对双曲正切和余切是${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}$).

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

正弦 · 余弦 · 正切 · 余切 · 正割 · 余割

反正弦 · 反余弦 · 反正切 · 反余切 · 反正割‎ · 反余割

正矢 · 余矢 · cis函数 · 余cis函数 · 半正矢 · 半余矢 · 外正割 · 外余割 · atan2 · 古德曼函数

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