平稳过程

✍ dations ◷ 2025-07-08 15:49:58 #随机过程,信号处理

在数学中,平稳过程(英语:Stationary process),又称严格平稳过程(英语:Strict(ly) stationary process)或强平稳过程(英语:Strong(ly) stationary process)是一种特殊的随机过程,在其中任取一段期间或空间( t = t 1 , t k {\displaystyle t=t_{1},t_{k}} 。将这些数据进行转换保留平稳数据用于分析的过程称为解趋势(de-trending)。

采样空间也是离散的离散时间平稳过程称为Bernoulli scheme,离散采样空间中每个随机变量可能取得 个可能值中的任意一个。当 = 2 的时候,这个过程叫做伯努利过程。

如果有一个信号x对于所有k都满足以下条件,则它就是一个平稳过程。

() 有下述数学期望函数

与相关函数

第一个属性表明数学期望函数 () 必须是常数。第二个属性表明相关函数仅仅与 t 1 {\displaystyle t_{1}} 相关,并且可以仅仅用一个变量而不是两个变量来表示。这样,

通常可以简化为

当使用线性、时不变(线性时不变系统)滤波器处理广义平稳随机信号的时候,将相关函数作为线性算子是很有帮助的。由于它是循环矩阵运算,只与两个变量之间的差值有关,所以它的特征函数是傅里叶级数复数指数函数。另外,由于线性时不变系统算子也是复指数函数,广义平稳随机信号的线性非时变处理非常易于操作——所有的运算都可以在频域进行。另外,根据线性非时变系统的特征,也可以知道,当输入信号是一个广义平稳过程时,输出信号也会是一个广义平稳过程。因此,广义平稳假设在信号处理算法中得到了广泛应用。

二阶平稳过程是指在实际使用中,仅需一对变量(2个)在时序变化中保持平稳特性时所提出的。二阶平稳过程的定义可以推广至N阶平稳过程,所谓严格平稳过程(SSS)具体表现为全阶平稳。

当概率密度函数的一阶和二阶表达式对于所有可能的 t 1 {\displaystyle t_{1}} , t 2 {\displaystyle t_{2}} Δ {\displaystyle \Delta } 满足以下条件时,被称为二阶平稳过程。

当其均值(mean)和相关函数(correlation function)都是有限的时候,这样的过程可以称为广义平稳(WSS),同时,一个广义平稳不一定是二阶平稳。

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