平稳过程

✍ dations ◷ 2025-04-04 20:52:57 #随机过程,信号处理

在数学中，平稳过程（英语：Stationary process），又称严格平稳过程（英语：Strict(ly) stationary process）或强平稳过程（英语：Strong(ly) stationary process）是一种特殊的随机过程，在其中任取一段期间或空间（ $t=t_{1},t_{k}$ 。将这些数据进行转换保留平稳数据用于分析的过程称为解趋势（de-trending）。

采样空间也是离散的离散时间平稳过程称为Bernoulli scheme，离散采样空间中每个随机变量可能取得个可能值中的任意一个。当 = 2 的时候，这个过程叫做伯努利过程。

如果有一个信号x对于所有k都满足以下条件，则它就是一个平稳过程。

() 有下述数学期望函数

与相关函数

第一个属性表明数学期望函数 () 必须是常数。第二个属性表明相关函数仅仅与 $t_{1}$ 相关，并且可以仅仅用一个变量而不是两个变量来表示。这样，

通常可以简化为

当使用线性、时不变（线性时不变系统）滤波器处理广义平稳随机信号的时候，将相关函数作为线性算子是很有帮助的。由于它是循环矩阵运算，只与两个变量之间的差值有关，所以它的特征函数是傅里叶级数复数指数函数。另外，由于线性时不变系统算子也是复指数函数，广义平稳随机信号的线性非时变处理非常易于操作——所有的运算都可以在频域进行。另外，根据线性非时变系统的特征，也可以知道，当输入信号是一个广义平稳过程时，输出信号也会是一个广义平稳过程。因此，广义平稳假设在信号处理算法中得到了广泛应用。

二阶平稳过程是指在实际使用中，仅需一对变量（2个）在时序变化中保持平稳特性时所提出的。二阶平稳过程的定义可以推广至N阶平稳过程，所谓严格平稳过程(SSS)具体表现为全阶平稳。

当概率密度函数的一阶和二阶表达式对于所有可能的 $t_{1}$ $t_{1}$ , $t_{2}$ $t_{2}$ 和 $\Delta$ $\Delta$ 满足以下条件时，被称为二阶平稳过程。

当其均值（mean）和相关函数（correlation function）都是有限的时候，这样的过程可以称为广义平稳（WSS），同时，一个广义平稳不一定是二阶平稳。

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