概形论术语

✍ dations ◷ 2025-10-22 04:03:33 #概形论术语

这是概形论术语。欲知代数几何中概形的简介，请见条目仿射概形、射影空间、层及概形。本条目旨在列出概形论中的基本技术定义与性质。

一个概形 ${displaystyle S}$ $S$ 是一个局部赋环空间，故也是拓扑空间，但“ ${displaystyle S}$ $S$ 的点”具有三重涵义：

几何点是古典问题的主角，例如对复代数簇而言，通常说“点”即指几何点。拓扑空间的点包括一般点的类比（相对于扎里斯基而非韦伊的理论）。借由米田引理，考虑所有的概形 ${displaystyle T}$ $T$ 与所有 ${displaystyle T}$ $T$ -值点，可以将概形 ${displaystyle S}$ $S$ 理解为相应的可表函子 ${displaystyle h_{S}}$ ${displaystyle h_{S}}$ ，此观念是代数几何发展史上的一大步。

在格罗滕迪克的相对几何框架下，一态射的纤维有三重涵义：

概形的大部分性质都是“局部的”，换言之： ${displaystyle X}$ $X$ 具有性质甲，当且仅当对其任一开覆盖 ${displaystyle X=bigcup _{i}X_{i}}$ ${displaystyle X=bigcup _{i}X_{i}}$ ，每个 ${displaystyle X_{i}}$ $X_{i}$ 皆具性质甲；而通常只要对一组开覆盖验证即可。这类性质有时也被称为“扎里斯基局部”的，藉以区别对于其他格罗滕迪克拓扑的情形（如平展拓扑）。

考虑一概形 ${displaystyle X}$ $X$ 及一组仿射开子概形 ${displaystyle mathrm {Spec} A_{i}}$ ${displaystyle mathrm {Spec} A_{i}}$ 组成的开覆盖。借此可将概形的局部性质翻译为交换环的性质。一个性质甲在上述意义下是局部的，当且仅当相应的环性质在局部化之下不变。

举例明之，局部诺特概形是能由诺特环的交换环谱覆盖的概形。由于诺特环的局部化仍为诺特环，局部诺特性确实是上述意义下的局部性质。另一个例子是既约概形，这也是局部性质，因为若一个交换环无幂零元，则其局部化亦然。

分离概形并非局部性质：任何仿射概形都是分离概形，因此任何概形都是“局部分离”的，然而存在非分离的概形。

以下是环的局部性质列表（不全），由此可定义概形的相应性质。以下令 ${displaystyle X:=bigcup _{i}mathrm {Spec} A_{i}}$ ${displaystyle X:=bigcup _{i}mathrm {Spec} A_{i}}$ 为一概形之开覆盖。

格罗滕迪克的基本理念之一是强调“相对”性，亦即置重点于态射的性质。概形范畴有一终对象 ${displaystyle mathrm {Spec} mathbb {Z} }$ ${displaystyle mathrm {Spec} mathbb {Z} }$ ，所以任何概形可以唯一地理解为 ${displaystyle mathrm {Spec} mathbb {Z} }$ ${displaystyle mathrm {Spec} mathbb {Z} }$ -概形，借此可以从态射性质定义概形本身的性质。

以下令

为概形间的态射。一如既往，以下的性质也是局部的，即：若存在开覆盖 ${displaystyle X=bigcup U_{i}}$ ${displaystyle X=bigcup U_{i}}$ 使得 ${displaystyle f}$ $f$ 在 ${displaystyle f^{-1}(U_{i})}$ ${displaystyle f^{-1}(U_{i})}$ 上的限制带有该性质，则 ${displaystyle f}$ $f$ 本身也带该性质。

若一个态射在拓扑空间上是开映射，则称此态射为开态射；闭态射的定义类似。平坦态射皆为开态射。

若 ${displaystyle f(Y)}$ ${displaystyle f(Y)}$ 在 ${displaystyle X}$ $X$ 中稠密，则称此态射为优势态射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。对于仿射概形，优势态射对应到环的单射同态。

开浸入仅关乎拓扑，而闭浸入则与结构层有关。概形的闭子集可以带有多种闭子概形结构，其中存在一个始对象，使得其结构层不含幂零元，称为该闭子集对应的既约子概形。

若 ${displaystyle X}$ $X$ 的仿射开子概形对 ${displaystyle f}$ $f$ 的逆像仍为仿射概形，则称 ${displaystyle f}$ $f$ 为仿射态射。用较炫的说法：仿射态射系来自 ${displaystyle {mathcal {O}}_{X}}$ ${mathcal {O}}_{X}$ -代数的整体 ${displaystyle mathbf {Spec} }$ ${displaystyle mathbf {Spec} }$ 构造，这是整体版本的交换环谱。例子包括向量丛。

射影态射的定义类似，此时对应到分次 ${displaystyle {mathcal {O}}_{X}}$ ${mathcal {O}}_{X}$ -代数的整体 ${displaystyle mathbf {Proj} }$ ${displaystyle mathbf {Proj} }$ 构造，另一种等价的刻划是： ${displaystyle f}$ $f$ 是射影态射，当且仅当它可分解为闭浸入 ${displaystyle Yto mathbb {P} _{X}^{n}:=mathbb {P} ^{n}times X}$ ${displaystyle Yto mathbb {P} _{X}^{n}:=mathbb {P} ^{n}times X}$ 及自然投影 ${displaystyle mathbb {P} _{X}^{n}to X}$ ${displaystyle mathbb {P} _{X}^{n}to X}$ 。

若 ${displaystyle X}$ $X$ 有一组仿射开覆盖 ${displaystyle mathrm {Spec} ,A_{i}}$ ${displaystyle mathrm {Spec} ,A_{i}}$ ，使得态射 ${displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})to mathrm {Spec} ,A_{i}}$ ${displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})to mathrm {Spec} ,A_{i}}$ 对应到 ${displaystyle mathrm {Spec} ,B_{i}to mathrm {Spec} ,A_{i}}$ ${displaystyle mathrm {Spec} ,B_{i}to mathrm {Spec} ,A_{i}}$ ，使得 ${displaystyle B_{i}}$ $B_{i}$ 是有限 ${displaystyle A_{i}}$ $A_{i}$ -模，则称此态射为有限态射。

若将上述条件改为： ${displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})}$ ${displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})}$ 有一组仿射开覆盖 ${displaystyle mathrm {Spec} ,B_{ij}}$ ${displaystyle mathrm {Spec} ,B_{ij}}$ ，使得 ${displaystyle mathrm {Spec} ,B_{ij}}$ ${displaystyle mathrm {Spec} ,B_{ij}}$ 是有限生成的 ${displaystyle mathrm {Spec} ,A_{i}}$ ${displaystyle mathrm {Spec} ,A_{i}}$ -代数，则称此态射为局部有限型态射；若上述开覆盖 ${displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})=bigcup _{j}mathrm {Spec} ,B_{ij}}$ ${displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})=bigcup _{j}mathrm {Spec} ,B_{ij}}$ 可取为有限的，则称之有限型态射。代数几何中探讨的多数态射都是有限型态射。

若 ${displaystyle f}$ $f$ 的纤维都是有限的，且是有限型态射，则称之为拟有限态射。有限态射皆为拟有限态射。

若 ${displaystyle f}$ $f$ 在结构层的茎上给出平坦同态，则称之为平坦态射。视此态射为一族以 ${displaystyle X}$ $X$ 的点为参数的概形，则平坦性可诠释为纤维在变形下的某些良好性质，例如希尔伯特多项式的不变性。

对一点 ${displaystyle yin Y}$ ${displaystyle yin Y}$ ，考虑相应的环同态：

令 ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ ${mathfrak {m}}$ 为 ${displaystyle {mathcal {O}}_{X,f(y)}}$ ${displaystyle {mathcal {O}}_{X,f(y)}}$ 的极大理想，并设

若对所有 ${displaystyle yin Y}$ ${displaystyle yin Y}$ ， ${displaystyle {mathfrak {n}}}$ ${displaystyle {mathfrak {n}}}$ 是 ${displaystyle {mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${displaystyle {mathcal {O}}_{Y,y}}$ 的极大理想，且导出的映射 ${displaystyle {mathcal {O}}_{X,f(y)}/{mathfrak {m}}to {mathcal {O}}_{Y,y}/{mathfrak {n}}}$ ${displaystyle {mathcal {O}}_{X,f(y)}/{mathfrak {m}}to {mathcal {O}}_{Y,y}/{mathfrak {n}}}$ 是有限、可分的代数扩张，则称此态射为非分歧态射。

平坦的非分歧态射称为平展态射，此外尚有多种等价定义。在代数簇的情形，平展态射恰好是在切空间上导出同构的态射，这正好是微分几何中平展态射的定义。

平滑态射对应到拓扑学中的塞尔纤维化映射，在代数几何中有多种定义：

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