局部可积函数

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。

设${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$为欧几里得空间${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$中的一个开集。设${\displaystyle f:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}}$是一个勒贝格可测函数。如果函数${\displaystyle f}$在任意紧集${\displaystyle K\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$上的勒贝格积分都存在：

那么就称函数${\displaystyle f}$为一个${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$-局部可积的函数。所有在${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$上局部可积的函数的集合一般记为${\displaystyle L_{loc}^1(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})}$：

其中${\displaystyle {\mathcal{P}}_0(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})}$指${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$包含的所有的紧集的集合。

对于更一般的测度空间${\displaystyle (X,d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}$，也可以类似地定义其上的局部可积函数。