岁差

岁差，又称地轴进动（英语：axial precession），是指某一天体的自转轴指向在其他天体的引力的作用下，相对于空间中的惯性坐标系所发生的缓慢且连续的变化。地球的岁差主要由太阳、月球及其他行星作用在地球赤道隆起部分的引力矩引起。在天文学和大地测量学中，岁差一般专指地球自转轴缓慢且均匀的变化，周期约25,722年。其他周期较短或不规律的变化则被称为章动。岁差的具体表现是地球赤道面和黄道面的变化，这两种变化又分别被称为赤道岁差和黄道岁差。赤道岁差的影响主要表现为春分点以每年约51″的速率连续向西运动。这种影响能够通过回归年与恒星年之间的差异，以及北天极和北极星相对位置的变化被直接观察到。黄道岁差的影响则表现为春分点以每年约0.1″的速率向东移动，以及黄赤交角的缓慢变化。赤道岁差与黄道岁差又被统称为总岁差（英语：general precession）。岁差的名称和含义随历史的发展而变化。历史上，古希腊天文学家喜帕恰斯首先发现了春分点在黄道上的移动，提出了分点岁差（英语：the precession of the equinoxes）一词。汉语中的“岁差”则出自于《宋书·历下》记载的“冬至所在，岁岁微差”，意为每年冬至点的位置存在着微小的差别。在相当长的一段时间内，分点岁差曾是岁差的唯一含义。随着计算精度的提升，天文学家于19世纪上半叶发现了其他行星对黄道面的影响。最早在1863年，行星岁差（英语：planetary precession）一词就被提出，用于与因太阳与月球引力而形成的日月岁差（英语：lunisolar precession）相区别，。二者同样被合称作总岁差，以逐渐取代过去的“分点岁差”。在行星对赤道面的影响没有被发现之前，“行星岁差”和“黄道岁差”曾被视作同义词，“日月岁差”则和“赤道岁差”亦是如此。随着测量和计算精度的进一步提升，行星引力对赤道面的影响变得无法忽视。为避免造成误解，国际天文联合会在2006年将“日月岁差”和“行星岁差”分别重新命名为当前使用的“赤道岁差”和“黄道岁差”。岁差影响地球的自转轴、春分点和黄赤交角，从而影响人类对深空及近地空间的观测，甚至是地球的气候。在大地测量学中，岁差和章动、极移以及日长变化又被统称为地球定向参数。地球自转轴的进动有许多可以观测到的作用。首先，天极南极和北极的位置相对于看起来是固定的背景星空有移动的现象，完成一周的时间大约是25,771.5年（依据2000年的速率）。因此，现在靠近天球北极被称为北极星的恒星，会随着时间的迁移，其它的恒星将成为“北极星” 。当天极移动时，从地球这个特定的位置观察，这种在星场中指向的移动是以同位角逐渐进行的。其次，地球环绕太阳轨道的分点和至点的位置，或其他相对于季节定义的时间，也在缓慢的改变。例如，假设地球在轨道的夏至位置时，地轴的指向的倾斜是朝向太阳。在完整的绕行一圈后，太阳相对于背景的恒星回到了相同的视位置，但地轴指向的倾斜却不是朝向太阳：由于岁差的作用，它稍微超越了这一个点。换句话说，夏至在轨道上的位置提早了一些。因此，回归年，意思是季节的周期(例如，从至点至至点，或从分点至分点)是比恒星年，这是以太阳相对于恒星的示位置来测量的，短了约20分钟。注意这每一年20分钟的差，大约经过25,771.5年，累积的量就相当于一年，所以在经过25,771.5年之后，极轴对应在轨道上的位置又“回到当它的开始”。（事实上，其它的作用也会慢慢的改变地球轨道的形状和方向，并且和岁差作用结合在一起，创造出各种不同的变化；参考米兰科维奇循环。地轴倾角的大小，而不是只有指向，也会随着时间慢慢的变化，但这种作用不能直接归咎于进动。）相同的原因，太阳的视位置在相同季节的固定时间的背景恒星，好比说春分点，也会以每年50.3秒（大约是360度除以25,771.5），或是每71年一度的速率，在传统的12个黄道带星座之间缓缓的退行完整的360°。更进一步的细节，请参见下文的极星的变换和极移和分点移动。虽然在证据上仍有争议的情况下，西蒙的阿利斯塔克斯早在公元前280年就能区分恒星年和回归年，岁差的发现通常被归功于喜帕恰斯(公元前190-120年)，罗德岛或是伊兹尼克的希腊天文学家。根据托勒密的天文学大成，喜帕恰斯测量角宿一和其它亮星的经度，并将它测量的数据与前辈提默洽里斯 (Timocharis，320–260 BC)和阿里斯基尔 (Aristillus~280 BC)比较，它的结论是角宿一相对于秋分点移动了2度。它也比较了回归年(太阳回到同一个分点)和恒星年(太阳回到相同的恒星背景)的长度，并且发现了微小的差别。喜帕恰斯推断分点会在黄道上移动("岁差")，而且每世纪的移动量不会小于1°，换言之不到36,000年就会完成一周的遶行。事实上喜帕恰斯所有的文件，包括他在岁差上的工作，都遗失了。托勒密提及他们，他解释岁差为天球环绕着静止不动的地球旋转。对喜帕恰斯这是很合理的假设，像托勒密，在地心说的时期认为岁差是天球的运动。第2世纪的托勒密是继续喜帕恰斯对岁差工作的第一位天文学家。托勒密使用喜帕恰斯测量月球变化的方法，不需要利用日时，测量了轩辕十四、角宿一和其它亮星的经度。在日落之前，他先测量月球和太阳分离的经度，然后在日落之后，他测量月球至恒星的弧长。他用喜帕恰斯的模型计算太阳的经度，并且利用月球的运动和视差做出修正(Evans 1998, pp. 251–255)。托勒密将它自己的观测和喜帕恰斯、亚力山卓的梦尼劳斯、提默洽里斯和亚基帕的做比较。他发现从喜帕恰斯到他自己的年代(大约265年)，恒星已经移动了2°40'，或是每百年1° (每年36"；现在认可的速率是每年大约50"，或是72年1°)。他也证实岁差不只是影响靠近黄道的恒星，而是影响到所有的恒星，并且他找到的周期和喜帕恰斯一样，都是36,000年。许多古老的著作都没有提到岁差，或许是不知道的缘故。除了托勒密之外，这份清单还包括普洛克拉斯(Proclus)，他否认岁差，和亚力山卓的赛昂( Theon of Alexandria )，他在四世纪评论托勒密，并且接受托勒密的解释。赛昂也提供一种理论供选择：取代完整的遶行黄道带序列的程序，分点只是在8°的弧度内反复的前进和后退。这种trepidation的理论是赛昂当时提出对岁差的另一种选择。许多种不同的文化也都以各自的论述独立发现喜帕恰斯所谓的岁差。有一种观点认为巴比伦人已经知到岁差。依据阿尔巴坦尼(Al-Battani)的说法，巴比伦天文学家已经区分出恒星年和回归年(岁差值就是这回归年和恒星年之间的差异)。他阐明大约在公元前330年，他们已经估计出恒星年的长度是SK = 365日6小时11分(= 365.258日)误差大约是28分钟。在1923年施纳贝尔(P. Schnabel)主张大约在公元前315年的西丹努斯(Kidinnu)的理论与岁差有关。奥托纽格包尔(Otto Neugebauer)在1950年代就此问题所做的工作支持施纳贝尔(和更早期的Kugler)巴比伦人发现岁差的理论。在最近的几十年中，这个假说在de Santillana和von Dechend的著作哈姆雷特的基石中被再生放大(Harvard University Press, 1969)。从极端的Panbabylonism到考古天文学，他们推荐巴比伦神话故事中的岁差，引起了即使远至中国、波里尼西亚、和北美洲的世界地区，也有类似的神话在扩散。虽然他们的理论并未在学术界被广泛的接受，但预期岁差考古天文学会引起大众的兴趣在近期流行。在喜帕恰斯提出岁差之前的古埃及，也有相似的论述，但这些仍有争议。在一些卡奈克神庙复杂的建筑中，据称在一年当中的关键时刻，某些特定的恒星会从未经证实的点所指向的地平线方向升起或落下。几个世纪后，岁差使这些指向失去了时效，而且这些神庙重建过。虽然，对正恒星方向错误的增加并不表示埃及的观测者不知道恒星会以每72年一度的速率在天空中移动。然而，他们保留了精确的日历法，而如果纪录了庙宇重建的日期，那么绘制出粗略的岁差速率是非常简单的事。黄道十二星座浮雕，来自丹德拉的哈托尔神庙星图在时间上比托勒密的时代晚，据称纪录了岁差(Tompkins 1971)。无论如何，如果古埃及人知道岁差，他们的知识没有被纪录在现存的天文文件内。迈克尔赖斯在他的著作埃及的传统(Egypt's Legacy)，"虽然不能知道，岁差在公元前2世纪被喜帕恰斯定义之前，古埃及人是否知道岁差的机制，但是有专人监视夜晚星空的他们不可能不知道这种作用。" (p. 128) 。赖斯相信"对岁差的基本了解应该是推动埃及进展的动力" (p. 10)，在某种意义上，"作为一个民族国家的埃及和埃及王的国王被视为是活的神，天文上的变化与无穷尽天体的视运动，包括岁差，被认为是埃及人实现的产品" (p. 56)。追随着卡尔·古斯塔夫·荣格( Carl Gustav Jung)，赖斯说道："来自吉萨金字塔很精密的对准基点的证据，显示在公元前第三个千禧年的埃及(并且可能还在这个日期之前)就已经有很纯熟的天文观测技术，可以很精密的对准至所需要的恒星。单只这一个事实久足以使荣格相信埃及人对岁差的知识有着很好的认识，而不是一种凑巧的巧合。" (p. 31) 赖斯继续说：The Egyptians also, says Rice, were "当原本设计对向的恒星因为岁差改变了位置，埃及人也会修改庙宇的方向，在新的国王即位时，这种现象似乎发生过许多次。" (p. 170)古埃及菁英的祭司追踪岁差周期数千年之久的概念在与罗伯特·鲍威尔(Robert Bauval)和葛瑞姆·汉卡克 (Graham Hancock)于1966年著作的创世纪的守护神(Keeper of Genesis)这本书中扮演着中心理论被详细的阐明。作者声称古埃及人建造的巨大建筑是投影天空中的地图，同时与其相关的仪式是尘世代理天体事件的精心制作。特别的是，仪式象征的"回头(turning back)"抵达的源头时间是岁差周期所谓的Zep Tepi ("起点")，根据作者的计算，大约是公元前10,500年。有着推测的中美洲长数日历以某种方式反复的校准岁差，但是这些观点并未获得玛雅文明的预言专家的支持。一份12世纪的文件，Bhāskar II说："依据Suryasiddhanta，在一Kalpa(43亿2千万年)中，sampāt反转了30,000次，同时说在一个Kalpa中Munjāla向前移了199,669，并且一个要合并这两个，还要弄清楚倾斜之前，和上升的差异，等等"。兰斯洛特金森翻译了诗篇的最后三个章节，简明扼要的表达出完整的意义，并且跳过了一部分的组合以现代印度语的评述带出合并这两个之前的。依据印度语的评述，岁差周期的最后数值应该是结合ayana的+199,669转和sampaat的-30,000转，得到每Kalpa+169,669；也就是25,461年一个周期，这与现在的25,771年很接近。此外，Munjāla的数值给了ayana 运动的周期是21,636年，这是现代将近点岁差也加入计算所得到的岁差数值。后者(ayana)在现在的周期是1,360,000年，但在Bhāskar II钟给他的数值是144,000年(每Kalpa30,000)T，并称之为sampāt。Bhāskar-II没有给结合负值的sampāt和正值的ayana之后的最后项目一个名称，但是他给ayana的值显示这是轨道和近点的进动两者共同影响组合的岁差值，并且sampāt的意义就是近点周期，但把它定义成分点。他的言词是有点混淆，但它澄清是从它自己的Vāsanābhāshya评述Siddhānta Shiromani，并不是说Suryasiddhanta这本古籍在他写传闻证据的基础上不可靠。Bhāskar-II没有给它本身的见解，他只是引用了Suryasiddhanta、Munjāla 和其他未命名的。根据传统的评论，现存的Suryasiddhanta支持在±27°范围内每年54"的抖动，但伯吉斯(Burgess)引用Bhāskar-II所提及的Suryasiddhanta，认为原始的意义应该是一个循环的运动。东晋虞喜是提及岁差的第一位中国天文学家，他估计的岁差速率是每50年1°(Pannekoek 1961, p. 92)。《宋书·历下》载祖冲之大明历：“冬至所在，岁岁微差”，首次纳入岁差计算，后衍生“岁差”一词。在中世纪的伊斯兰天文学，在马拉给天文台(Maragheh observatory)编辑的伊尔汗历表(Zij-i Ilkhani)给出的分点岁差是每年51弧秒，与现在的数值50.2弧秒非常接近。在中世纪，伊斯兰教和拉丁的基督教天文学家都认为恒星的"抖动"是加诸于岁差的一种运动。这种理论通常归咎于阿拉伯天文学家塔比·伊本·库拉(Thabit ibn Qurra)，但现代设会已经对此一归属提出异议。尼古拉·哥白尼在他著作的天体运行论 (1543)对这种抖动给了不同的解释，这项工作第一次明确提到岁差是地球自转轴运动的结果。哥白尼将岁差的特性作为地球的第三种运动。在一个世纪之后，艾萨克·牛顿在他的自然哲学的数学原理 (1687)一书中也用万有引力 Evans 1998, p. 246)来解释岁差。然而，牛顿原始的进动方程不能正常的工作（顺利的解出答案），经由后起之秀的科学家让·勒朗·达朗伯特大幅修订才得以完成。在1825年，乔治·居维叶(Baron Georges Cuvier)引用Jean Baptiste Delambre的工作估计 page 163 完整的周期是25,960年，这是以大约在公元1800年测量的结果与喜帕恰斯比较。与目前所接受的数值比较，差异略大于0.5%。喜帕恰斯介绍了他在至点和分点移动上的发现(天文学大成 III.1和VII.2的叙述)。他在月食的时侯测量角宿一的黄道经度，发现大约在秋分点的西方6°。经由比较自己和亚历山大的提默洽里斯(他与阿里斯基尔都是与欧几里得同时期的公元前3世纪早期的学者)，他发现在150年前的角宿一经度少了约2°，他也注意到其它的恒星也有相同的运动，他推测在黄道带上的恒星位置会随着时间改变。托勒密称这是"第一假设" (天文学大成 VII.1)，但是没有提出更多可能是喜帕恰斯已经制定的假设。喜帕恰斯显然限制他的思考，因为他只依据几个旧的观测，而这些也不是很可靠的。为何喜帕恰斯需要在月食的时刻测量恒星的位置呢？因为二分点的位置不会标示在天空中，所以他需要以月球作为位置的参考。喜帕恰斯已经制定了一种方法可以算出任何时间的太阳经度。月食只会在满月，月球与太阳冲的的时刻发生。在食的中心时刻，月球与太阳的经度精确的相差180度。喜帕恰斯认为测量角宿一与月球在弧度上的经度差。以这个数值，加上计算所得的太阳经度，再加上180°就是月球的经度；他以相同的过程处理提默洽里斯的数据(Evans 1998, p. 251)。顺便提一下，观察相同的食，是喜帕恰斯获得工作上所需要数据的主要来源，由于有关他生平的资料非常稀少，他观测过的月食，例如公元前146年4月21日和公元前135年3月21日(Toomer 1984, p. 135 n. 14)。喜帕恰斯也以年的长度来研究岁差。在他的工作中，他了解有两种年的长度。回归年是从地球的角度看太阳回到黄道(太阳在天球上的群星间经过的路径)上同一位置所花费的时间长度。恒星年是太阳回到天球上同一颗恒星位置所经历的时间长度。岁差造成恒星的经度每年都会有些微的改变，所以恒星年比回归年稍为长了一点。对分点和至点的观察，喜帕恰斯发现回归年的长度是365+1/4−1/300 日，或365.24667日(Evans 1998, p. 209)。与恒星年一年的长度比较，他计算岁差在一个世纪中不会少于1°。从这些资料，它计算出恒星年长度可能的数值是365+1/4+1/144日(Toomer 1978, p. 218)，通过给与最小的误差可能率，他已经将观测允许的误差考虑进去。 经由修改默冬和卡利布斯(Callippus)的闰日和闰月(已经失传)，喜帕恰斯以接近他的回归年长度创造了自己的阴阳历，如同托勒密在天文学大成 III.1所述说的(Toomer 1984, p. 139)。从公元前499年起，巴比伦历使用19年235个阴历月的历法(在公元前380年之前只有3个例外)，但是它没有指定一个月的日数。默冬章(432 BC)在19年中有6,940日，倒置一年的平均日数是365+1/4+1/76日或365.26316日。卡利布斯周期( 330 BC)比4个默冬章(76年)少了一日，因此一年的平均是365+1/4或365.25日。喜帕恰斯在4个卡利布斯周期(304年)中在减少一日，创造了喜帕恰斯周期，一年的平均长度是365+1/4−1/304或365.24671日，这与回归年的长度365+1/4−1/300或365.24667日非常接近。这三种希腊的历法周期都未曾用于任何的民用历中 － 他们只出现在天文学大成这一份天文的文件中。我们发现喜帕恰斯的数学特征出现安提基特拉机械，公元前2世纪古老的天文计算机。这个机器依据的周期有太阳年、默冬章，这是月球以相同的相位出限在天空中同一颗恒星位置的时间(满月大约每19年出现在天空中相同的位置)，卡利布斯周期(他是4个默冬章并且更准确)、沙罗周期和转轮期(3沙罗周期，更准确的预测日食)。对安提基特拉机械的研究证明古代人基于太阳和月球在天空中的各方面的运动，一直使用很准确的日历。事实上，安提基特拉机械的一部分描述了月球的运动和相位，是阴历的机制，对某一给定的时间，以一列串联起来的4个齿轮，以针和插槽的设备，使月球的速度变化非常接近开普勒第二定律，也就是，他得到月球在近地点的运动速度较快，在远地点的运动速度较慢的计算值。此一发现证明喜帕恰斯的数学是比托勒密在他的书中所叙述的更为进步，很明显的他发展了与开普勒第二定律非常好的近似。拜火教(Mithraism)是一种神秘的宗教或是基于火神崇拜的学校。许多的地下庙宇大约都在公元前1世纪至公元5世纪的罗马帝国时期建立。因为缺乏书面的文件或经籍，要了解拜火教有相当的困难；教学必须要经由发现的插图（来自曾经当过拜火教会众聚会场所的地下洞穴，且有黄道带和相关标帜的浮雕）重建后才能进行。直到1970年代，大多数的学者跟随着佛兰兹居蒙(Franz Cumont)一起确认密斯拉(Mithras)是波斯的火神(Mithra)。居蒙的论点在1971年被重新调查，并且相信密斯拉是只受到波斯宗教轻微影响的综摄神。拜火教被公认为明显的具有占星学的元素，但是细节仍要讨论。一位拜火教的学者，David Ulansey，曾经解释密斯拉(密斯拉太阳是打不倒的勇者－不可战胜的太阳)是第二个太阳或是造成岁差的恒星。他认为这种崇拜是受到喜帕恰斯发现岁差的启发而兴起的。他的分析一部分建立在tauroctony的星图，密斯拉用公牛献祭的图像。密斯拉是第二个太阳或超宇宙太阳；或是星座就是英仙座，而公牛就是黄道带上的星座，金牛座。在更早的占星术年代，太阳经过的春分点位置落在金牛座，由于这个原因，以密斯拉-柏修斯纪念"金牛时期"的结束（大约在公元前2000年在春分点，或是公元前11,500年在秋分点）。插画还包含在黄道带的两侧拿着两只火炬标帜的男孩(Cautes and Cautopates)。Ulansey和Walter Cruttenden在他们的书中失去的时间和神秘的恒星(Lost Star of Myth and Time)，解释这意味着年龄的增长和老化，或是光明和黑暗；宇宙进展的原始元素。因此，拜火教被认为在岁差周期或大年（分点的进动完整绕行一周的柏拉图年）的纪元变化中会有所动作。岁差的结果是北极星经常的改变。目前，勾陈一极适合指示天球北极点，因为勾陈一的视亮度（2.0等）足以担当此重责大任，而且距离真正的北极点只有不到半度的偏差。在另一方面，天龙座的右枢（天龙座α星），公元前3,000年的北极星，3.67等的光度就显得逊色多了（只有勾陈一的五分之一），在现今都市的光污染下几乎已经看不到了。在天琴座内明亮的织女星过去也曾担任过北极星（在公元前12,000年，在公元14,000年将再任），但是却从未接近至北极点的5°以内。当公元27,800年勾陈一再度成为北极星时，由于他的自行运动将会比现在离北极点稍远一些，在公元前23,600年的接近，是他最接近北极点的时刻。在现阶段，要找到天球南极点是比较困难的，因为那个区域是平淡无奇，列名为南极星的南极座σ只是一颗在理想的条件下，肉眼勉强可见的5.5等暗星。但在第80到90世纪时，天南极将通过伪十字。这种形势从星图也能看出，南极的指向正向南十字座移动。再经历2,000年左右，南十字座恰好可以指出南极点。由于南极点在向南十字座接近中，结果导致从北半球的亚热带地区将不再能像古希腊时代那样清楚的看见这个星座。右边的图片试着解释地球自转轴的进动和分点漂移的关系。这些图片显示地球的自转轴在天球上的位置。天球是一个忽略实际的距离，放置著从地球上看见的恒星位置的假想球。第一张图显示从外面看见的天球，星座都以镜像呈现。第二张图是在靠近地球的的位置，以非常广的角度采用透视法描绘的（从这个点看有严重的扭曲与变形）。地球的自转轴以超过25,700年的周期在群星之间画出一个小圆圈（蓝色圈），中心点是黄道的北极点（蓝色的E字），角半径是23.4°，这是黄赤交角。进动的方向与地球每日绕轴自转的方向相反，橘色的轴是5,000年前的地球自转轴，当时是指向右枢这颗恒星。黄色的轴，指向北极星（勾陈一），标示出现在的自转轴。分点位于天球赤道和黄道（红线）相交的点，就是地球的自转轴垂直连接于地球和太阳的中心线（注意“分点”这个名词，是参考天球上的这个点定义的，而不是太阳正好在赤道上方的时刻，虽然这两种涵异是相关的）。当轴因为“岁差”从一个方向转向另一个方向，地球的赤道平面（在赤道周围的圆形网格）也会移动。天球赤道是地球赤道在天球上的投影，所以他也会随着地球赤道的移动而移动，同时与黄道的交点也会移动。在地球的两个极点和赤道没有改变，只有指向恒星的方向改变了。观察5,000年前的橘色网格，春分点靠近金牛座的毕宿五。观察现在的黄色网格，它已经移动（以红色的箭头指示）到双鱼座。这些图片依然只是第一近似的表示，并没有考虑到进动速率的变化、黄道倾角的改变、行星岁差（这是黄道平面本身缓慢的旋转，目前环绕的轴位于经度174°.8764之处）和恒星的自行。每个星座的岁差时代（纪元），通常称为大月(Great Months)，大约如下所示：分点岁差是太阳和月球对地球的引力造成的，其它天体也有少许的作用。此一解释最早是由牛顿提出的 轴向进动类似陀螺的进动。在这两种状况，作用力都是引力。对陀螺，这种力几乎平行于自转轴。但是对地球，这种力来自太阳和月球，几乎垂直于自转轴。地球不是一个理想的球体，而是一个扁球体，在赤道的直径比两极的直径长了43公里。因为地球的轴倾，导致在一整年中几乎有一半突起的部分，向南或向北分别偏离中心朝向太阳，或朝相反的方向偏离中心。因为引力随着距离增加而减弱，接近的这一半受到较强的引力，这使得太阳拉扯地球的一侧比另一侧更困难，因而对地球产生一个小小的扭力。这个扭矩轴大致垂直于地球的自转轴，所以转轴产生了进动。如果地球是一个理想的球，就不会有进动。这个平均转矩是垂直于自转轴且倾向远离黄极的方向，因此并不会改变轴本身的倾斜。来自太阳(或月球)的扭矩大小会随着引力和地球的旋转轴对齐的方向而改变，当正交的时候趋近于零。尽管上述的解释都与太阳有关，同样的解释适用于绕着地球运动的任何天体，值得注意的是沿着或靠近黄道的天体，特别是月球。太阳和月球结合的行动称为日月岁差。除了由太阳和月球造成的稳定前行运动(完成一个完整的圆大约25,700年)，还会造成小位置的变化。这种振荡，包括进动的速度和轴倾，被称为章动。最重要的项目只有18.6年的周期和小于20弧秒的振幅。 除了日月岁差之外，太阳系内其他的行星也造成黄道整体沿着测量时的瞬时黄经174° 附近的轴缓慢的转动，这种行星岁差的值每年在黄道上的移动量只有0.47角秒(不到日月岁差值的百分之一)。这两种岁差的总和就是我们一般所认知的综合岁差。在地球上的潮汐力是由平方反比定律的天体（太阳、月球或行星）引力摄动造成的结果，即造成摄动的天体施加在地球近侧的引力大于远侧的引力。如果摄动天体的引力施加于地球的中心(等于离心力)是减除了摄动天体施加于地球表面各处的引力，留下的就是潮汐力。对进动，这种潮汐力形成两种力但只作用在球从极到极之间的赤道隆起。这个力偶可以分解成两对元件，一对平行于地球的赤道平面，分别朝向和远离摄动的天体，并且相互抵消；另一对平行于地球的自转轴，两者都朝向赤道平面。后面这一对创造出下述的扭矩矢量 ：此处扭矩在地球中心的(从上到下)的3个单位矢量x是在黄道面上(在黄道平面上的方向是沿着黄道和赤道的交点)指向春分点，y在黄道面上指向夏至点(x的东方90°)，和z指向黄道的北极点。对于太阳的三个正弦曲线项目在x方向的数值(sinδ cosδ sinα)是正弦平方波的形式，数值的变化从在分点(0°, 180°)的0到至点(90°, 270°)的0.36495。太阳在y方向(sinδ cosδ (−cosα))的数值在四个分至点是从0至±0.19364(稍微超过正弦平方波一半的数值)，在分点和至点中间的峰值位置稍微偏离中间(分别在43.37°(−), 136.63°(+), 223.37°(−), 316.63°(+))。太阳的照两个波形从波峰到波峰的振幅相同，并且有相同的周期，都是公转周期的一半或是半年。在z方向的数值为0。无论是月球或太阳，正弦波形的平均扭矩在y方向的值为0，所以在这个方向的扭矩不会影响到进动。对太阳或月球，正弦平方波的平均扭矩在x方向的运动是：此处和正弦平方波形平均1/2计算值， a 3 ( 1 − e 2 ) 3 / 2 {displaystyle a^{3}(1-e^{2})^{3/2}} 整个椭圆轨道的地球到太阳或月球平均距离的立方，和 ϵ {displaystyle epsilon ,!} (黄道面和赤道面的夹角)是太阳在赤道上能达到的δ(赤纬)最大值，并且是月球在18.6年的完整周期内的平均最大值。进动是：此处ω是地球的角速度，和Cω是地球的角动量。因此由太阳导致进动的第一阶成分是：而月球的是：此处的i是月球轨道面和黄道面的夹角。在这两个方程，太阳的参数在标示为S的方括弧内，月球的参数在标示为L的方括弧内，地球的参数在标示为E的方括弧内。这个项目 ( 1 − 1.5 sin 2 ⁡ i ) {displaystyle (1-1.5sin ^{2}i)} 计算月球轨道相对于黄道的倾角，项目(C−A)/C是地球的力学椭率或扁率，因为地球内部的结构不清楚，知道的也不够详尽，因此需要观测到的岁差来调整。如果地球是均值的，这个项目将等于第三阶偏心角 。此处的a 是赤道半径(6378137 m)，和c是极半径(6356752 m)，所以e'' ²=0.003358481.应用的参数是J2000.0舍入到7位有效数字(不包含前导的1)是：此处给与两个的值都必须转换成"/a (弧秒/年)，以2π弪度量(1.296×106"/2π)的数值和在每年(儒略年)秒的数值(3.15576×107s/a)：因为地球的轨道是完整的椭圆，因此太阳的方程能很好的描述出由太阳造成的进动，只有受到其他行星微小的摄动。月球的方程就不能很好的描述月球进动的形式，因为他的轨道受到太阳很大的扭曲。在人造卫星和电子计算机建立出更精确的岁差模型以前，被普遍接受的岁差数值是西蒙·纽康于19世纪末计算得到的结果。他计算得到的总岁差的经度分量（以 p {displaystyle p} 表示）为每回归世纪5,025.64弧秒。1976年，美国天文学家 Jay H. Lieske 将 p {displaystyle p} 更新为每儒略世纪5,029.0966弧秒。VLBI和LLR等现代技术的出现，使岁差的数值能被更精确地测定。国际天文联合会在2000年采用了新的常数，又于2003年和2006年采用了新的计算方法和多项式以对岁差进行表达。累积岁差的计算公式为：p A = 5 028.796 195 T + 1.105 434 8 T 2 + O ( T 3 ) {displaystyle p_{A}=5,028.796,195T+1.105,434,8T^{2}+O(T^{3})}单位为每儒略世纪弧秒， T {displaystyle T} 为自2000.0分点起算的儒略世纪数(儒略世纪为36,525天)。对累积岁差进行求导，得到岁差的速率为：p = 5 028.796 195 + 2.210 869 6 T + O ( T 2 ) {displaystyle p=5,028.796,195+2.210,869,6T+O(T^{2})}以这个常数项推算的岁差周期为25,772年。岁差的变率不是一个常数，因为在线性(和高阶的)项目中的T，是随着时间逐渐增加的。无论如何必须强调的是这个公式只适用在在有限的时间内，可以很清楚的看出，如果T够大(就是说在够久的未来或过去)，则T²将成为主导，p的数值将变得非常大。实际上，对太阳系的数值模型更精确的计算显示，岁差的常数有大约41,000年的周期，类似黄道的倾斜。要注意此处提到的常数是在线性和高阶的公式上，而非岁差的本身。也就是说：p = A + BT + CT² + … 只是下面公式的近似 p = A + Bsin (2πT/P)，此处P 是410个世纪的周期。理论上的模型也许计算岁差(p)在时间(T)上的的高次项，但是因为无止尽的多项式可以转化成周期函数，当T够大时（无论是正或负）都会趋向无穷大。基于这种动机下，国际天文联合会选择了最容易开发和利用的理论。在未来或之前的几个世纪，所有的公式都不会导出无穷大的数值；在未来或过去的数千年，都能维持在一定的准确度内；在更长的时间中，误差变得太大，甚至在一个岁差周期内，岁差的确切变率和期间都变得难以计算。地球的轴心岁差是一个缓慢的效应，但在天文学家工作所需要的精确度上，每天的变化都需要被考虑到。要注意，虽然岁差和轴的倾斜（对黄道面的倾角）是从相同的理论推算出来的，并且彼此有关联性，但两者的运动是各自独立的，是在互相垂直的方向上运动。在更长的时间周期内，也就是百万年的岁月中，岁差看来是有25,700年的类似周期，但是，他不会这样保持下去。根据沃德的推论，月球的距离因为潮汐的作用在持续的增加中。在未来的15亿年，当从现在的60.3增加至66.5地球半径，来自行星共振的效应，将会先使岁差的周期延长至49,000年；在大约20亿年时，月球的距离达到68地球半径，岁差周期也将变成69,000年。这将与轴在黄道上倾角大幅的变动相关联。然而，沃德在潮汐的散逸上使用了异于寻常的新派的数值，在6.2亿年的平均时间，使用潮汐节奏一半大的值，但是这种同步共振大约要30至40亿年才能达到，而在这个时间之前许久（大约从现在开始21亿年后），由于太阳光度的增加，地球上的海水早就沸腾而消失了，势必大幅改变潮汐的作用。岁差的存在使地球自转轴的朝向发生了变化，使得在不同时刻定义出的天球坐标系存在细微的差别。岁差改正的目的就是将观测目标在瞬时平天球坐标系下的坐标归化到某一指定时刻的协议天球坐标系（CIS）中。假设在时刻 t i {displaystyle t_{i}} ，观测到目标的瞬时平天球坐标为 r ( t i ) {displaystyle mathbf {r} (t_{i})} ，且其在定义于 t 0 {displaystyle t_{0}} 时刻的协议天球坐标为 r ( t 0 ) {displaystyle mathbf {r} (t_{0})} ，则两个坐标可以通过下式进行转换：其中， P ( t i , t 0 ) {displaystyle P(t_{i},t_{0})} 被称为岁差矩阵。岁差改正是地球定向模型的一部分，也是国际天球参考框架（ICRF）和国际地球参考框架（ITRF）间相互转换的环节之一。从2003年1月1日起，国际天文联合会（IAU）开始采用MHB2000模型来为两个框架提供转换参数，这一模型给出了岁差矩阵 P ( t i , t 0 ) {displaystyle P(t_{i},t_{0})} 的具体形式。MHB2000模型使用了三个欧拉角来表示转换前后的坐标系的相对位置，并将岁差矩阵表达为三个旋转矩阵的乘积：其中， ζ A {displaystyle zeta _{A}} 、 θ A {displaystyle theta _{A}} 和 η A {displaystyle eta _{A}} 即为三个欧拉角。除了得出岁差矩阵的数值表示以外，上式还表达了瞬时平天球坐标系转换为协议天球坐标系的具体步骤：由于ICRF定义的自转轴与MHB2000模型所采用的自转轴并非完全一致，传统的时间多项式难以简洁地表达三次坐标旋转法中使用的欧拉角 ζ A {displaystyle zeta _{A}} 和 η A {displaystyle eta _{A}} 。Capitaine等人提出了以四次坐标旋转法表达岁差矩阵的方式。与三次坐标旋转法类似，四次坐标旋转法将岁差矩阵表达为四个旋转矩阵的乘积：其中， χ A {displaystyle chi _{A}} 、 ω A {displaystyle omega _{A}} 、 ψ A {displaystyle psi _{A}} 和 ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0}} 即为四个旋转角。该式同样给出了岁差矩阵的数值表示和转换的具体步骤：在由国际地球自转服务（IERS）提供的IERS2010规范中，使用的岁差模型是由国际天文联合会给出的IAU2006岁差模型（英语：IAU 2006 precession）。上述的四个旋转角在这一模型中被表达为时间的五次多项式：其中， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0}} 又为历元J2000.0下定义的协议天球坐标系的黄赤交角， t {displaystyle t} 是当前历元相对于历元J2000.0的儒略世纪数。右边的图在以北半球来说明相对于近日点和远日点的轴向进动作用，分点岁差控制了气候的周期性变化，也就是所熟知的米兰科维奇循环。注意在图上特定季节扫掠过的面积会随着时间改变，轨道力学要求季节长度需要与对应季节的象限被扫掠过的面积成比率，所以在轨道离心率的极值，在远心点上的时间(日期)会比在近心点上要长。今天，在北半球，在秋季与冬季位于近日点附近，地球以最快的速度运动着，因此冬季和秋季比春季和夏季为短。现在，北半球的夏天比冬天长4.66天，春天比秋天长2.9天。轴向进动缓缓的改变地球的分点与至点在轨道上的位置，参考回归年有更详细的说明与数值。在未来的10,000年，北半球的冬季会逐渐变长，而夏季会变得短些，最后，创造出来的环境将顺理成章的引发下一次的冰河期。