闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 ${\displaystyle S}$ 是一个度量空间，${\displaystyle 1\le <!--\; \le \; -->p\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},f,g\in <!--\; \in \; -->L^p(S)}$，那么 ${\displaystyle f+g\in <!--\; \in \; -->L^p(S)}$，我们有：

如果 ，等号成立当且仅当 ${\displaystyle \mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}k\ge <!--\; \ge \; -->0,f=kg}$，或者 ${\displaystyle g=kf}$ .

闵可夫斯基不等式是 ${\displaystyle L^p(S)}$ 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

将所有实数 ${\displaystyle x_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,x_n,y_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,y_n}$（${\displaystyle n}$ 为 ${\displaystyle S}$ 的维数）改成复数同样成立。

值得指出的是，如果 ${\displaystyle x_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,x_n,y_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,y_n>0}$，，则 ${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->}$ 可以变为 ${\displaystyle \ge <!--\; \ge \; -->}$ .

我们考虑 ${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->f+g{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p}$ 的 ${\displaystyle p}$ 次幂：

${\displaystyle {\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x)+g(x){|}^{p}dx\right)}^{\frac{1}{p}\cdot <!--\; \cdot \; -->p}={\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x)+g(x)||f(x)+g(x){|}^{p-<!--\; -\; -->1}dx}$

（用三角形不等式展开 ${\displaystyle |f(x)+g(x)|}$）

${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x)||f(x)+g(x){|}^{p-<!--\; -\; -->1}dx+{\int <!--\; \int \; -->}_a^b|g(x)||f(x)+g(x){|}^{p-<!--\; -\; -->1}dx}$

（用赫尔德不等式）

${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->{\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x){|}^{p}dx\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x)+g(x){|}^{q\left(p-<!--\; -\; -->1\right)}dx\right)}^{\frac{1}{q}}+{\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|g(x){|}^{p}dx\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x)+g(x){|}^{q\left(p-<!--\; -\; -->1\right)}dx\right)}^{\frac{1}{q}}}$

${\displaystyle ={\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x)+g(x){|}^{qp-<!--\; -\; -->q}dx\right)}^{\frac{1}{q}}}$

（利用 ${\displaystyle p=qp-<!--\; -\; -->q}$，因为${\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$）

${\displaystyle ={\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x)+g(x){|}^{p}dx\right)}^{\frac{1}{q}}}$

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子，即得

${\displaystyle {\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x)+g(x){|}^{p}dx\right)}^{\frac{1}{p}}\le <!--\; \le \; -->{\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|f(x){|}^{p}dx\right)}^{\frac{1}{p}}+{\left({\int <!--\; \int \; -->}_a^b|g(x){|}^{p}dx\right)}^{\frac{1}{p}}}$

这正是我们所要的结论。

对于序列的情形，证明是完全类似的。